Cramér-Rao Cota - što je to, definicija i pojam
Cramér-Raoova granica (CCR) minimalna je varijanca koju, s obzirom na uvjete redovitosti, može postići procjenitelj jednog parametra.
Drugim riječima, tražimo varijancu koja je najbliža ovoj donjoj granici kako bismo pronašli najbolji procjenitelj prema svojstvima nepristranosti i učinkovitosti.
Preporuča se pročitati svojstva procjenitelja
Ta se svojstva koriste kada moramo odabrati procjenitelj da bismo izvršili ekonometrijsku analizu. Ako želimo da naši rezultati budu konačni, morat ćemo zahtijevati da procjenitelj bude nepristran i da ima najmanju moguću varijancu od svih nepristranih procjenitelja (učinkovitost).
Iako uzimamo u obzir sve nepristrane procjene, kada tražimo procjenitelj minimalne varijance, može se dogoditi da postoji još jedan nepristrani procjenitelj koji ima manje varijance.
Kako nam ne bi izbjegao nepristrani procjenitelj s minimalnom varijancom, uspostavljamo minimalnu ili donju granicu koju varijanca nepristrane procjene parametra ne može premašiti.
Nepristrane procjene promatramo samo zato što pristrani procjenitelji mogu imati odstupanja manja od CCR-a.
Formulacija
Mi definiramo:
f (X; Θ): funkcija gustoće vjerojatnosti.
E (·): matematička nada.
I (Θ): Fisherove informacije o parametru.
Predstavlja "količinu informacija" o vrijednosti parametra koja se nalazi u promatranju slučajne varijable X.
Formula:
Nemojte paničariti! Što na prvi pogled možemo vidjeti iz ove formule?
- Možemo vidjeti da se radi o nestalnoj nejednakosti (≥) umjesto jednakosti (=). To je zato što u nekim slučajevima ne nalazimo (ne postoji) nepristrani procjenitelj koji doseže CCR vezan. Stoga kažemo da tražimo varijancu nepristranog procjenitelja koja je što bliža ovoj donjoj granici. Uz to, CCR nam govori kolika će biti minimalna varijansa procjenitelja, ispod ove brojke to se ne može naći.
- Desni dio (var (Θ ’) je varijanca procjene našeg parametra.
- Dio s lijeve strane (1 / J (Θ)) nepremostivi je minimum varijance.
- Ako tražimo (apsolutni) minimum za varijancu procjenitelja Θ, logično je da se pojave djelomični izvodi (izvodi u odnosu na Θ).
- U ekonomiji se djelomični derivati koriste u uvjetima prvog i drugog reda kako bi se optimizirale funkcije korisnosti: pronađite relativni i apsolutni maksimum, odnosno minimum.
- CCR koristi prvi djelomični izvod parametra Θ na funkciji gustoće vjerojatnosti f (X; Θ)
- Radi lakšeg izračuna, u nekim se slučajevima koriste drugi derivatni i alternativni Fisherovi podaci za dobivanje CCR-a.
Procjenitelji koji, budući da su nepristrani, imaju varijancu jednaku CCR-u, tada će se smatrati najučinkovitijima. Slično tome, oni nepristrani čija je varijansa bliža smatrat će se relativno učinkovitijima od ostalih procjenitelja (dalje).
