Linearna kombinacija vektora događa se kada se vektor može izraziti kao linearna funkcija ostalih vektora koji su linearno neovisni.
Drugim riječima, linearna kombinacija vektora je da se vektor može izraziti kao linearna kombinacija ostalih vektora koji su linearno neovisni jedan o drugom.
Zahtjevi za linearnu kombinaciju vektora
Linearna kombinacija vektora mora zadovoljiti dva zahtjeva:
- Da se vektor može izraziti kao linearna kombinacija ostalih vektora.
- Neka ti ostali vektori budu linearno neovisni jedan o drugom.
Linearna kombinacija u računu
U osnovnoj smo matematici navikli često viđati linearne kombinacije, a da to ne shvaćamo. Na primjer, linija je kombinacija jedne varijable u odnosu na drugu, tako da:
Ali korijeni, logaritmi, eksponencijalne funkcije … više nisu linearne kombinacije jer proporcije ne ostaju konstantne za cijelu funkciju:
Dakle, ako govorimo o linearnoj kombinaciji vektora, struktura jednadžbe imat će sljedeći oblik:
Kako govorimo o vektorima, a prethodna se jednadžba odnosi na varijable, da bismo izgradili kombinaciju vektora, moramo samo zamijeniti varijable vektorima. Neka budu sljedeći vektori:
Dakle, možemo ih zapisati kao linearnu kombinaciju kako slijedi:
Vektori su linearno neovisni jedan o drugom.
Grčko slovo lambda djeluje kao parametar m u općoj jednadžbi pravca. Lambda će biti bilo koji stvarni broj, a ako se ne pojavi, njegova vrijednost će biti jednaka 1.
To što su vektori linearno neovisni znači da se niti jedan od vektora ne može izraziti linearnom kombinacijom ostalih. Poznato je da neovisni vektori čine osnovu prostora, a ovisni vektor također pripada tom prostoru.
Primjer paralelepipeda
Pretpostavljamo da imamo tri vektora i želimo ih izraziti kao linearnu kombinaciju. Također znamo da svaki vektor dolazi iz istog vrha i čini apscisu tog vrha. Geometrijski lik je paralelepiped. Budući da nas obavještavaju da je geometrijska figura koju ovi vektori čine apscisa paralelepipeda, onda vektori ograničavaju lica lika.
Prvo, moramo znati jesu li vektori linearno ovisni. Ako su vektori linearno ovisni, tada od njih ne možemo formirati linearnu kombinaciju.
Tri vektora:
Kako možemo znati jesu li vektori linearno ovisni ako nam ne daju informacije o svojim koordinatama?
Pa, koristeći logiku. Da su vektori linearno ovisni, tada bi se sva lica paralelepipeda urušila. Drugim riječima, bili bi isti.
Stoga možemo izraziti novi vektor w kao rezultat linearne kombinacije prethodnih vektora:
Vektor koji predstavlja kombinaciju prethodnih vektora:
Grafički:
