Tetraedar je poliedar s četiri lica, šest bridova i četiri vrha. To je trodimenzionalna figura koju čini nekoliko poligona koji su, u ovom slučaju, trokuti.
Karakteristično je za tetraedar da je najjednostavniji od poliedra i jedini koji ima manje od pet stranica.
Vrijedno je spomenuti da je tetraedar piramida s trokutastom osnovom.
Elementi tetraedra
Elementi tetraedra koji nas vode sa donje slike su:
- Lica: To su stranice tetraedra koji su, kao što smo spomenuli, trokuti (ABC, ADC, ADB i BDC.
- Rubovi: To je spoj dvaju lica: AB, AC, AD, BC, CD i DB.
- Vrhovi: To su one točke na kojima se rubovi susreću: A, B, C i D.
- Dvostrani kut: Nastaje spajanjem dvaju lica.
- Kut poliedra: To je ono koje čine stranice koje se podudaraju u jednom vrhu.
Površina i volumen tetraedra
Da bismo znali karakteristike tetraedra, možemo izračunati:
- Područje: Trebalo bi dodati površinu četiri trokuta koja čine poliedar. U tom smislu moramo se sjetiti da se površina trokuta izračunava množenjem baze s visinom i dijeljenjem s 2 (A = bxh / 2)
- Volumen: Izračunao bi se prema sljedećoj formuli
U formuli je b bilo koja strana poliedra, a h visina ili segment koji spaja b sa svojim suprotnim vrhom. Uz to, visina je okomita na bazu (čine pravi kut ili mjeri 90 °).
Pravilni tetraedar
Kada su svi trokuti koji čine tetraedar međusobno jednakostranični trokuti, suočeni smo s pravilnim tetraedrom. Odnosno, to bi bio slučaj pravilnog poliedra, čija su lica ista i svako je također pravilni poligon.
U ovom trenutku moramo se sjetiti da je pravilni poligon onaj gdje su sve stranice jednake duljine, a također su i njihovi unutarnji kutovi jednaki.
Sjetimo se tada da se površina (A) jednakostraničnog trokuta može izračunati pomoću Heronove formule gdje su a, b i c mjere stranica, a s poluperimetar, što je opseg (P) između dva.
Onda da:
P = a + b + c = a + a + a = 3a
Mi moramo:
Zatim, budući da postoje četiri trokuta, pomnožimo površinu svakog od 4 da bismo pronašli površinu tetraedra (AT):
S druge strane, ako želimo izračunati volumen, moramo pronaći visinu poliedra. Da bismo to učinili, vodit ćemo se sljedećom slikom:
Prvo ćemo izračunati visinu (h) baze (trokut ABC u ovom primjeru), a to je segment EB. Kut X mjeri 90 °, pa se mora ispuniti Pitagorin teorem, a hipotenuza (BA), koja mjeri a (duljina svih bridova u ovom tetraedru), jednaka je zbroju svake kvadratne noge. Jedna od noga je EA, to je sredina segmenta AC (E presijeca stranicu na dva jednaka dijela) i mjeri a / 2. Također, druga noga je visina baze (h ili EB).
Tada će, prema svojstvu pravilnog tetraedra, pri čemu je F središte trokuta, EF biti jedna trećina segmenta EB, odnosno jedna trećina h.
Sljedeći korak, da bismo pronašli visinu tetraedra (DF), možemo ponovno primijeniti Pitagorin teorem jer je, kako je visina okomita, kut Y pravi (on mjeri 90 °).
Gledajući trokut DEF, hipotenuza je DE, što je visina trokuta ADC i, budući da su sve plohe jednake, jednaka je visina h trokuta ABC. Zauzvrat je jedan krak visina tetraedra (DF), koji ćemo nazvati ht, a drugi krak je segment EF koji smo već izračunali. Stoga:
Konačno, da bismo pronašli volumen tetraedra (V), kao što smo prethodno objasnili, pomnožimo visinu lika (ht) s površinom baze (A) koja je gore izračunata i podijelimo s tri:
Primjer tetraedra
Pod pretpostavkom da je tetraedar pravilan i da mu je svaka strana lica 20 metara. Kolika je površina (AT) i volumen (V) slike?
