Thalesov je teorem zakon geometrije koji nam govori da ćemo, ako se linija povuče paralelno s bilo koje strane trokuta, imati trokut sličan izvornom trokutu.
Drugim riječima, ako izrežemo trokut povlačenjem crte paralelne jednoj od njegovih stranica, dobit ćemo trokut sličan prethodno postojećem.
U ovom trenutku treba napomenuti da su dva trokuta slična kad su im odgovarajući kutovi podudarni (mjere ih isto) i kada su njihove homološke stranice proporcionalne jedna drugoj.
Da bismo ga bolje razumjeli, pogledajmo sljedeću sliku:
Thalesovim se teoremom može zaključiti da je α = δ i β = ε
Uz to, kao što smo već spomenuli, stranice su proporcionalne, pa je istina da:
Anegdota koju je povezao povjesničar Plutarh govori da je Tales iz Mileta u jednom od svojih putovanja iskoristio ovaj teorem da bi znao visinu piramida u Gizi (Keopsove, Khafreove i Menkaureove) u Egiptu. Stoga je odlučio staviti štap okomito na tlo, čekajući da duljina predmeta bude jednaka sjeni koju je bacio. U to bi vrijeme sjena piramide također bila jednaka njezinoj visini. U ovom su slučaju slični trokuti:
- Onaj čija su dvije strane štap i njegova sjena.
- Trokut kojem je jedna od stranica visina piramide, a kao druga strana sjena.
Da bismo je bolje razumjeli, zamislimo na gornjoj slici da je piramida ona koju tvore vrhovi D, E i F, da joj je visina segment HE, a sjena IE. U međuvremenu, štap je segment AB, a njegova sjena CB. Prema tome, AB / CB = HE / IE. To, uzimajući u obzir da su sunčeve zrake paralelne (ne prelaze ili u svom produljenju), pa će sa štapom oblikovati isti kut kao i kod piramide (kutovi α i β jednaki su).
Primjer Thalesova teorema
Da bismo bolje razumjeli Thalesov teorem, pogledajmo sljedeću sliku:
Ako BC mjeri 7,3 metra, DE mjeri 3,6 metara, a AB 6,2 metra. Kolika je duljina AD?
Izoliramo u prethodno prikazanoj formuli i imamo:
7,3 / 3,6 = 6,2 / AD
2,0278 = 6,2 / AD
AD = 3,0575 metara
Proširenje Thalesova teorema
Thalesov se teorem može proširiti na analizu bilo koje dvije linije koje su presječene drugim linijama paralelnim jedna drugoj, kao što vidimo na sljedećoj slici:
Tada je istina da:
To je istina jer o tim linijama moramo razmišljati kao o dijelu trokuta ili, ako to vidimo na drugi način, ako produžimo linije AB i CD, one će se prekrižiti. Bolje da to vidimo na sljedećoj slici:
Thalesov drugi teorem
Tu je i drugi Thalesov teorem prema kojem, ako imamo trokut formiran promjerom opsega i dvije crte koje ga sijeku (oni režu lik u dvije točke), taj kut koji je nasuprot promjeru ispravan, tj. ,, mjere 90º.
Treba imati na umu da je promjer onaj segment koji, prolazeći kroz središte opsega, spaja dvije suprotne točke spomenutog lika.
Gore navedeno možemo bolje vidjeti na slijedećoj slici:
Ovaj teorem možemo provjeriti uzimajući u obzir da AC, AD i AB mjere isto i jednaki su polumjeru opsega (polumjer je bilo koji segment koji spaja točku na opsegu sa središtem slike i jednak je polovici promjer). Dakle, trokuti ABC i ABD su jednakokraki i njihove dvije slične stranice su suprotni kutovi koji također mjere isto, to jest:
AC = AD = AB = r (polumjer opsega)
γ = β i α = δ
Zatim, ako vidimo trokut CBD i sjetimo se da se unutarnji kutovi trokuta moraju zbrajati do 180º, imamo:
γ + β + α + δ = 180º
2β + 2α = 180º
2 (α + β) = 180º
α + β = 90 °
Stoga je CBD trokut pravokutni trokut.