Gauss-Markov teorem - što je to, definicija i pojam

Gauss-Markov teorem skup je pretpostavki koje mora provoditi OLS (redovni najmanji kvadrati) da bi se mogao smatrati ELIO (optimalnim linearnim nepristranim procjeniteljem). IGauss-Markov teorem formulirali su Carl Friederich Gauss i Andrei Markov.

Carl Friederich Gauss i Andréi Márkov utvrdili su neke pretpostavke kako bi OLS procjenitelj mogao postati ELIO.

Ako su ovih 5 pretpostavki ispunjene, možemo potvrditi da je procjenitelj onaj s minimalnom varijancom (najpreciznijom) svih linearnih i nepristranih procjena. U slučaju da bilo koja od pretpostavki o prve tri ne uspije (Linearnost, Nulto srednja stroga egzogenost ili Nema savršene multikolinearnosti), OLS procjenitelj više nije nepristran. Ako zakaže samo 4 ili 5 (homoscedastičnost i bez autokorelacije), procjenitelj je još uvijek linearan i nepristran, ali više nije najtočniji. Rezimirajući, Gauss-Markov teorem navodi da:

• Prema pretpostavkama 1, 2 i 3, OLS procjenitelj je linearan i nepristran. Sad, dok se ne ispune prve tri pretpostavke, može se osigurati da je procjenitelj nepristran. Da bi procjenitelj bio dosljedan, moramo imati velik uzorak, što više to bolje.
• Prema pretpostavkama 1, 2, 3, 4 i 5, OLS procjenitelj je linearan, nepristran i optimalan (ELIO).

Pretpostavke Gauss-Markova teorema

Konkretno, postoji 5 pretpostavki:

1. Linearni model u parametrima

Prilično je fleksibilna pretpostavka. Omogućuje upotrebu funkcija varijabli od interesa.

2. Nulta srednja i stroga egzogenost

Podrazumijeva da je srednja vrijednost pogreške uvjetovana objašnjenjima jednaka bezuvjetnoj očekivanoj vrijednosti i jednaka nuli. Nadalje, stroga egzogenost zahtijeva da pogreške modela ne budu povezane s bilo kojim opažanjima.

Nula znači:

Stroga egzogenost:

Nulta vrijednost i stroga egzogenost propadaju ako:

• Model je slabo specificiran (na primjer, izostavljanje relevantnih varijabli).
• U varijablama postoje pogreške u mjerenju (podaci nisu pregledani).
• U vremenskim serijama stroga egzogenost ne uspijeva u modelima odgođene endogenosti (iako istodobna egzogenost može postojati) iu slučajevima kada postoje povratni učinci.

U podacima presjeka mnogo je lakše postići pretpostavku egzogenosti nego u slučaju vremenskih serija.

3. Nema točne multikolinearnosti

U uzorku niti jedna varijabla objašnjenja nije konstantna. Ne postoje točni linearni odnosi između objašnjavajućih varijabli. Ne isključuje neku (ne savršenu) korelaciju između varijabli. Prema Gaussu i Markovu, kada model ima točnu multikolinearnost, to je obično zbog pogreške analitičara.

4. Homoscedastičnost

Varijansa pogreške, a time i Y, neovisna je o objašnjenim vrijednostima i, osim toga, o varijansi konstantne pogreške. Matematički se izražava kao:

Evo niza podataka homoscedastičnog izgleda.

5. Nema autokorelacije

Izrazi pogrešaka dvaju različitih opažanja uvjetovanih X nisu povezani. Ako je uzorak slučajan, neće biti autokorelacije.

Gdje moram imati vrijednost različitu od h. Ako je uzorak slučajan, podaci i pogreške promatranja "i" i "h" bit će neovisni za bilo koji par opažanja "i" i "h".