Vlastiti vektori su vektori pomnoženi sa vlastitom vrijednošću u linearnim transformacijama matrice. Vlastite vrijednosti su konstante koje množe vlastite vektore u linearnim transformacijama matrice.
Drugim riječima, svojstveni vektori prevode informacije iz izvorne matrice u množenje vrijednosti i konstantu. Vlastite vrijednosti su ta konstanta koja množi vlastite vektore i sudjeluje u linearnoj transformaciji izvorne matrice.
Iako je njegovo ime na španjolskom vrlo opisno, na engleskom se nazivaju svojstveni vektori svojstveni vektori i vlastite vrijednosti, vlastite vrijednosti.
Preporučeni članci: matrične tipologije, inverzna matrica, odrednica matrice.
Vlastiti vektori
Vlastiti vektori su skupovi elemenata koji su množenjem bilo koje konstante ekvivalentni množenju izvorne matrice i skupova elemenata.
Matematički, svojstveni vektorV= (v1, …, Vn) kvadratne matriceP je bilo koji vektorV koji zadovoljava sljedeći izraz za bilo koju konstantuh:
QV = hV
Vlastite vrijednosti
Konstanta h je vlastita vrijednost koja pripada vlastitom vektoru V.
Vlastite vrijednosti su stvarni korijeni (korijeni koji imaju realne brojeve kao rješenje) koje pronalazimo kroz karakterističnu jednadžbu.
Karakteristike vlastitih vrijednosti
- Svaka vlastita vrijednost ima beskonačne vlastite vektore, budući da postoje beskonačni realni brojevi koji mogu biti dio svakog vlastitog vektora.
- Oni su skalari, mogu biti složeni brojevi (ne stvarni) i mogu biti identični (više od jedne jednake vlastite vrijednosti).
- Ima toliko vlastitih vrijednosti koliko je i redova (m) ili stupci (n) ima izvornu matricu.
Vektori i vlastite vrijednosti
Postoji linearni odnos ovisnosti između vektora i vlastitih vrijednosti budući da vlastite vrijednosti množe vlastite vektore.
Matematički
Ako je V svojstveni vektor matriceZ Y h je vlastita vrijednost matrice Z, ondahV je linearna kombinacija između vektora i vlastitih vrijednosti.
Karakteristična funkcija
Karakteristična funkcija koristi se za pronalaženje vlastitih vrijednosti matriceZ kvadrat.
Matematički
(Z - hl) V = 0
Gdje ZYh definirani su gore iJa je matrica identiteta.
Pojmovi
Da bi se pronašli vektori i vlastite vrijednosti matrice, mora biti zadovoljeno:
- Matrica Z kvadrat: broj redaka (m) jednak je broju stupaca (n).
- Matrica Z stvaran. Većina matrica koje se koriste u financijama imaju stvarne korijene. Koja je prednost korištenja pravih korijena? Pa, vlastite vrijednosti matrice nikada neće biti složeni brojevi, a to, prijatelji, puno rješava naše živote.
- Matrica (Z- bok) nije invertibilan: odrednica = 0. Ovaj nam uvjet pomaže da uvijek pronađemo vlastite vektore koji nisu nula. Ako bismo pronašli vlastite vektore jednake 0, tada bi množenje vrijednosti i vlastitih vektora bilo nula.
Praktični primjer
Pretpostavljamo da želimo pronaći vektore i vlastite vrijednosti aZ Matrica dimenzija 2 × 2:
1. Zamjenjujemo matricu Z YJa u karakterističnoj jednadžbi:
2. Ispravljamo čimbenike:
3. Množimo elemente kao da tražimo odrednicu matrice.
4. Rješenje ove kvadratne jednadžbe je h = 2 i h = 5. Dvije vlastite vrijednosti jer je broj redaka ili stupaca u matrici Z je 2. Dakle, pronašli smo vlastite vrijednosti matrice Z što pak čini odrednicu 0.
5. Da bismo pronašli vlastite vektore, morat ćemo riješiti:
6. Na primjer, (v1, v2) = (1,1) za h = 2 i (v1, v2) = (- 1,2) za h = 5:
