Množenje matrica - što je to, definicija i pojam

Množenje matrica sastoji se od linearnog kombiniranja dviju ili više matrica dodavanjem njihovih elemenata ovisno o njihovom položaju unutar matrice ishoda, poštujući redoslijed čimbenika.

Drugim riječima, množenje dviju matrica je ujedinjavanje matrica u jednu matricu množenjem i dodavanjem elemenata redaka i stupaca izvornih matrica, uzimajući u obzir redoslijed čimbenika.

Preporučeni članci: operacije s matricama, kvadratne matrice.

Množenje matrica

S obzirom na dvije matrice Z Y Y od n redaka i m stupaca:

Svojstva

• Dimenzija matrice rezultata kombinacija je dimenzije matrica. Drugim riječima, dimenzija matrice rezultata bit će stupci prve matrice i retci druge matrice.

U ovom ćemo slučaju to pronaći Z_n (redovi Z) jednako Y_m(stupci Y) kako biste ih mogli pomnožiti. Dakle, ako su jednaki, matrica rezultata bit će:

Primjeri

• Pomnožit ćemo matrice dva s dva.

Množimo matrice dva s dva kako bismo sačuvali dimenzije izvornih matrica i olakšali postupak.

• Množenje matrica nije komutativno.

Shema komutativnog svojstva

Komutativno svojstvo predstavlja onu poznatu frazu: redoslijed čimbenika ne mijenja rezultat.

Ovo svojstvo nalazimo u uobičajenom zbrajanju i množenju, odnosno kada zbrajamo i množimo bilo koji objekt koji nije matrica.

S obzirom na gornju shemu, komutativno svojstvo nam govori da ćemo, ako prvo pomnožimo plavo, a zatim žuto sunce, dobiti isti rezultat (zeleno sunce) kao da prvo pomnožimo žuto, a zatim plavo sunce.

Dakle, ako množenje matrica ne poštuje komutativno svojstvo, to podrazumijeva redoslijed faktora Da utječe na rezultat. Drugim riječima, nećemo dobiti zeleno sunce ako promijenimo redoslijed žutog i plavog sunca.

Postupak

Prethodne matrice možemo pomnožiti ako je broj redaka u matrici Z jednak je broju stupaca u matrici Y. Naime, Z_n = Y_m.

Jednom kada se utvrdi da možemo množiti matrice, množimo elemente svakog retka sa svakim stupcem i dodajemo ih na takav način da ostane samo jedan broj na mjestu gdje se podudaraju prethodni plavi ovali.

Prvo pronađemo gdje se podudaraju plavi ovali, a zatim radimo zbroj množenja elemenata.

• Za prvi element matrice rezultata vidimo da se ovali podudaraju tamo gdje je element z₁₁.

• Za posljednji element matrice rezultata vidimo da se ovali podudaraju u elementu i_nm.

Teorijski primjer

Dane su dvije kvadratne matrice D Y I,

Pomnožite prethodne matrice.

Počinjemo množenjem prvog retka matrice D s prvim stupcem matrice I. Tada radimo isto, ali zadržavajući redak ili stupac svake matrice, ovisno o tome želimo li pomnožiti neke elemente ili druge. Ponavljamo postupak dok ne popunimo sve praznine.

Vježbajte

Dokazati da komutativno svojstvo nije ispunjeno u umnožaku matrica.