Prirodni logaritam ln (x) obrnut je od eksponencijalne funkcije i definirano u x samo za pozitivne realne brojeve.
Intuitivno je ono što je prirodni logaritam namijenjen rješavanju sljedeća jednadžba:
iY= x
Gdje bi 'y' bio rezultat koji tražimo. Odnosno, ako je x 20, koliko mora vrijediti 'y' kada se podiže na 'e' da bi se jednadžba ispunila. Na primjer, rezultat ln (20)
iY= 20 ⇒ y = 3
Uzimajući u obzir da broj 'e' vrijedi 2,7182818 … provjeravamo da ako ga povisimo na 3, rezultat je zaista 20,07. To je tako, jer je prirodni logaritam 20 zapravo 2,99. Ali u ovom smo primjeru koristili 3 kako bismo to olakšali.
Domena prirodnog logaritma
Matematički je domena prirodnog logaritma:
(x ∈ ℜ: x> 0)
Odnosno, x mora biti stvarni broj veći od nule. Inače, funkcija ne postoji. Način provjere je iskreno jednostavan. Moramo to provjeriti samo brojem koji je nula ili manje. Na primjer:
iY= 0 ⇒ y = Nema rezultata
Ne postoji broj 'y' koji, kada se podigne na 'e', rezultira nulom. Možemo se približiti nuli, ali rezultat nikada neće biti nula.
Na precizniji način možemo proširiti definiciju izvan pozitivnih reala na složene brojeve. Za bilo koji negativni realni x definirali bismo, gdje učinkovito ja odgovara kvadratnom korijenu iz (-1). Međutim, ovo je naprednija napomena i nije objektivno u ovo objašnjenje stavljati detalje o složenim brojevima.
Grafički prikaz prirodnog logaritma
Grafički prikaz ove funkcije je:
Sjećajući se da je funkcija koju zastupamo iY= x, vidimo da kako se vrijednost 'y' mijenja, tako se mijenja i vrijednost 'x'. Provjerimo je li graf jednak jednadžbi. Možemo vidjeti da kada je 'y' nula, tada je 'x' jednako 1. Primjena jednadžbe:
iY= 0 ⇒ e0=1
Doista, u matematici znamo da bilo koji broj kada se poveća na 0 rezultira 1.
Primjena u financijama i ekonomiji
U financijama se uzimaju u obzir samo pozitivni reali, jer se oni obično koriste za kontinuirano izračunavanje povrata na navedenim cijenama financijske imovine. Cijene su obično pozitivne, pa udovoljavaju ograničenju (x> 0), gdje je x u ovom slučaju cijena.
Najčešća upotreba u ekonomiji je u ekonometrijskim analizama, gdje jednostavne i / ili višestruke regresije uključuju logaritme u jednadžbe kako bi se osigurala stabilnost regresora, smanjile atipična promatranja i uspostavili različiti pogledi na procjenu, među ostalim.
Konačno, razlog zašto se prirodni logaritmi koriste u ekonometriji je olakšavanje operacija koje treba izvesti. Logaritmi imaju određena svojstva koja omogućuju relativno brzo i jednostavno izvođenje složenih matematičkih operacija.