Funkcionalne jednadžbe su one koje imaju drugu funkciju kao nepoznatu. Funkcija koja se može povezati s algebarskom operacijom poput zbrajanja, oduzimanja, dijeljenja, množenja, potencije ili korijena.
Funkcionalne jednadžbe također se mogu definirati kao one koje nije lako svesti na algebarsku funkciju, tipa f (x) = 0, radi njihove razlučivosti.
Funkcionalne jednadžbe karakterizirane su jer ne postoji jedinstveni način njihova rješavanja. Uz to, varijabla o kojoj je riječ može imati različite vrijednosti (to ćemo vidjeti na primjerima).
Primjeri funkcionalnih jednadžbi
Neki primjeri funkcionalnih jednadžbi su:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ i2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
U slučajevima poput prethodnih, može se dodati, na primjer, da x pripada skupu realnih brojeva, odnosno x ∈ R (nula se može izuzeti).
Primjeri funkcionalnih jednadžbi
Pogledajmo nekoliko primjera riješenih funkcionalnih jednadžbi:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Dakle, ako x zamijenim 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1/16x)
Pogledajmo sada još jedan primjer s malo više poteškoća, ali gdje ćemo nastaviti na sličan način:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
U ovom slučaju prvo rješavamo za f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Sada zamjenjujem x s 5-x u jednadžbi 1:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25-10x + x2) .f (5-x) -f (x) = 15-3x
Sjećamo se da je f (5-x) u jednadžbi 2:
(25-10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72x
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchyjeva funkcionalna jednadžba
Funkcija Cauchyja jedna je od najosnovnijih te vrste. Ova jednadžba ima sljedeći oblik:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Pod pretpostavkom da su x i y u skupu racionalnih brojeva, rješenje ove jednadžbe govori nam da je f (x) = cx, gdje je c bilo koja konstanta, a isto se događa i sa f (y).