Razlika između konkavne i konveksne može se objasniti na sljedeći način → Pojam konveksne odnosi se na činjenicu da površina ima zakrivljenost prema unutra, dok bi, ako je udubljena, zakrivljenost bila prema van.
Stoga ga možemo opisati na drugi način. Središnji dio konveksne površine više je udubljen ili udubljen. S druge strane, da je udubljen, taj bi središnji dio pokazivao istaknutost.
Da bismo ga bolje razumjeli, možemo navesti nekoliko primjera. Prvo, klasični slučaj kugle, čija je površina konveksna. Međutim, ako ga prerežemo na dva dijela i zadržimo donju polovicu, imali bismo konveksni objekt, s ulegnućem (pod pretpostavkom da je unutrašnjost kugle prazna).
Sljedeći primjer udubljenja bila bi planina, jer je istaknuta u odnosu na površinu zemlje. Suprotno tome, zdenac je konkavan, jer ulazak u njega podrazumijeva poniranje, ispod razine zemljine površine.
Također treba napomenuti da se mora uzeti u obzir i definiranje objekta kao konkavne ili konveksne perspektive. Tako je tanjur za juhu, na primjer, kada je spreman za posluživanje, konveksan, ima ulegnuće. Međutim, ako je okrenemo, ploča će biti udubljena.
Ako, na primjer, analiziramo parabole, one su konveksne ako imaju U-oblik, ali udubljene ako imaju obrnuti U-oblik.
Konkavne i konveksne funkcije
Ako je drugi izvod funkcije manji od nule u točki, tada je funkcija u toj točki konkavna. S druge strane, ako je veća od nule, u toj je točki konveksna. Gore navedeno može se izraziti na sljedeći način:
Ako je f »(x) <0, f (x), on je konkavan.
Ako je f »(x)> 0, f (x) je konveksan.
Na primjer, u jednadžbi f (x) = x2+ 5x-6, možemo izračunati njegovu prvu izvedenicu:
f '(x) = 2x + 5
Tada nalazimo drugu izvedenicu:
f »(x) = 2
Prema tome, budući da je f »(x) veće od 0, funkcija je konveksna za svaku vrijednost x, kao što vidimo na donjem grafikonu:
Sada, da vidimo slučaj ove druge funkcije: f (x) = - 4x2+ 7x + 9.
f '(x) = - 8x + 7
f »(x) = - 8
Prema tome, budući da je drugi izvod manji od 0, funkcija je konkavna za svaku vrijednost x.
Ali sada pogledajmo sljedeću jednadžbu: -5 x3+ 7x2+5 x-4
f '(x) = - 15x2+ 14x + 5
f »(x) = - 30x + 14
Postavljamo drugi izvod jednak nuli:
-30x + 14 = 0
x = 0,4667
Dakle, kada je x veće od 0,4667, f »(x) je veće od nule, pa je funkcija konveksna. Iako je x manje od 0,4667, funkcija je konkavna, kao što vidimo na donjem grafikonu:
Konveksni i udubljeni poligon
Konveksni poligon je onaj gdje se dvije njegove točke mogu spojiti, povlačeći ravnu crtu koja ostaje unutar slike. Isto tako, svi njezini unutarnji kutovi manji su od 180º.
S druge strane, konkavni poligon je onaj gdje se za spajanje dviju njegovih točaka mora povući ravna crta koja je izvan lika, a to je vanjska dijagonala koja spaja dva vrha. Nadalje, barem je jedan njegov unutarnji kut veći od 180 °.
Usporedbu možemo vidjeti na donjoj slici:
