Poissonova raspodjela je diskretna raspodjela vjerojatnosti koja modelira učestalost određenih događaja tijekom određenog vremenskog intervala na temelju prosječne učestalosti pojavljivanja tih događaja.
Drugim riječima, Poissonova raspodjela je diskretna raspodjela vjerojatnosti koja, samo poznavanjem događaja i njihove prosječne učestalosti pojavljivanja, možemo znati njihovu vjerojatnost.
Izraz distribucije Poissona
S obzirom na diskretnu slučajnu varijablu X, kažemo da se njezina frekvencija može na zadovoljavajući način približiti Poissonovoj raspodjeli, tako da:
Za razliku od normalne raspodjele, Poissonova raspodjela ovisi samo o jednom parametru, mu (označeno žutom bojom).
Mu izvještava o očekivanom broju događaja koji će se dogoditi u zadanom vremenskom intervalu. Kada govorimo o nečemu "očekivanom", moramo ga preusmjeriti da razmislimo o srednjoj vrijednosti. Stoga je mu srednja vrijednost učestalosti događaja.
I srednja vrijednost i varijansa ove raspodjele vrlo su strogo pozitivni.
Zastupanje
S obzirom na Poissonovu raspodjelu sa srednjom vrijednosti 2, raspodjela vjerojatnosti gustoće je sljedeća:
Funkcija je definirana samo na cijelim vrijednostima x.
Neće sve distribucije vjerojatnosti Poissonove gustoće izgledati jednako čak i ako uzorak ostane isti. Ako promijenimo srednju vrijednost, odnosno parametar o kojem funkcija ovisi, promijenit će se i funkcija.
Funkcija gustoće vjerojatnosti (pdf)
Ova se funkcija razumijeva kao vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi određenu vrijednost x. To je eksponencijal negativne sredine pomnožen sa sredinom povišenom na promatranje i sve podijeljen faktorom promatranja.
Kao što je naznačeno, da bismo znali vjerojatnost svakog promatranja, morat ćemo zamijeniti sva opažanja u funkciji. Drugim riječima, x je vektor dimenzije n koji sadrži sva opažanja slučajne varijable X. Srednja vrijednost također bi bio vektor, ali jedne dimenzije, takav da:
Nakon što imamo izračunate vjerojatnosti, zajedno s promatranjima možemo izvući raspodjelu gustoće vjerojatnosti.
Priča
Ime ove distribucije potječe od njezinog tvorca, Siméon-Denisa Poissona (1781.-1840.), Francuskog matematičara i filozofa, koji je želio modelirati učestalost događaja tijekom određenog vremenskog intervala. Također je sudjelovao u usavršavanju zakona velikih brojeva.
App
Poissonova raspodjela koristi se u području operativnog rizika kako bi se modelirale situacije u kojima dolazi do operativnog gubitka. U tržišnom riziku, Poissonov postupak koristi se za vrijeme čekanja između financijskih transakcija u visokofrekventnim bazama podataka. Također, kreditni rizik se uzima u obzir za modeliranje broja stečaja.
Primjer
Pretpostavljamo da smo u zimskoj sezoni i želimo na skijanje prije prosinca. Vjerojatnost da će se skijališta otvoriti prije prosinca iznosi 5%. Od 100 skijališta želimo znati vjerojatnost da će se najbliže skijalište otvoriti prije prosinca. Procjena ovog skijališta iznosi 6 bodova.
Ulazi potrebni za izračunavanje funkcije vjerojatnosti Poissonove gustoće su skup podataka i mu:
- Skup podataka = 100 skijališta.
- Mu = 5% * 100 = 5 je očekivani broj skijališta s obzirom na skup podataka.
Dakle, najbliža stanica ima 14,62% šanse da će se otvoriti prije prosinca.
Vjerojatnost učestalosti