Darmoisov teorem je teorem koji omogućuje pronalazak statističke vrijednosti T za parametar θ sa svojstvom dovoljnosti.
Još jednostavnijim riječima omogućuje pronalazak matematičkog izraza, ako postoji, dovoljne statistike.
U odnosu na Fisher-Neymanov faktoring faktor, možemo uzeti u obzir. Fisher-Neymanov faktoring faktor služi i za provjeru ispunjava li statistika svojstvo dovoljnosti i za pronalazak matematičkog izraza dovoljne statistike (ako postoji). Suprotno tome, Darmoisov teorem dopušta samo pronalaženje matematičkog izraza (ako postoji) dovoljne statistike.
Recimo da dok se Fisher-Neymanov faktoring kriterij pomiče naprijed (pretraživanje) i unatrag (provjera), Darmoisov se teorem pomiče samo naprijed (pretraživanje).
Formula Darmoisova teorema
Teoretski se izražava, davanjem jednostavnog slučajnog uzorka slučajne varijable X s funkcijom gustoće f (x; θ) s θ ∈ Ω. Ako ova funkcija pripada eksponencijalnoj obitelji, odnosno može se izraziti tako da:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Tada je statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Da bi se olakšali izračuni, obično se izvodi logaritamska notacija:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Naravno, teško je razumjeti sve ove matematičke zapise. Pojavljuju se mnoge nepoznanice, mnoga slova, mnogi operatori. Redefinirajmo ga kolokvijalnim riječima. U tu svrhu započet ćemo s teorijskom definicijom primijenjenom na primjer:
Pretpostavimo slučajni uzorak od 50 djece (jednostavan slučajni uzorak) kojega pitamo koliko novca tjedno potroše na slatkiše (slučajna varijabla X) s danom funkcijom gustoće (vidi funkciju gustoće). Dakle, ako ova funkcija gustoće možemo to izraziti na sljedeći način:
Utvrdit ćemo da je dovoljna statistika zbroj izraza a (x)
Dijelovi formule definirani su kako slijedi:
- lnβ (θ): To je funkcija koja ovisi samo o parametru (u našem slučaju o srednjoj vrijednosti)
- lnb (x): To je funkcija koja ovisi samo o slučajnoj varijabli X
- a (x): To je funkcija koja ovisi samo o X i množi α (θ)
- α (θ): To je funkcija koja ovisi samo o parametru (u našem slučaju o srednjoj vrijednosti)
Darmoisov teorem u praksi
Iako svi imamo sposobnost i alate za otkrivanje novih statistika, to je rijetko norma. Drugim riječima, profesori ekonomije i stručnjaci na tom području istražuju ove teme.
Na osobnoj je osnovi teško pronaći nekoga tko je posvećen istraživanju ove vrste. Stoga je u praksi važno kod ovog teorema razumjeti odakle potječu te statistike koje koristimo.
Na primjer, da bi netko otkrio da je srednja vrijednost dovoljna statistika, vjerojatno je koristio taj postupak.