Taylor serija - što je to, definicija i koncept
Taylorova serija je niz moći koji se proteže do beskonačnosti, pri čemu se svaki od dodataka podiže na snagu veću od prethodne.
Svaki element Taylorove serije odgovara n-tom izvodu funkcije f koji se procjenjuje u točki a, između faktora n (n!), I sve to pomnoženo s x-a uzdignuto u stepen n.
U formalnom ili matematičkom smislu, Taylorova serija ima sljedeći oblik:
Da bismo bolje razumjeli Taylorov niz, moramo imati na umu da je a točka na liniji tangenti na funkciju f. Spomenuta se crta zauzvrat može izraziti kao linearna funkcija čiji je nagib isti nagib kao i funkcija f u točki a.
Sljedeći aspekt koji treba imati na umu jest da je f funkcija koja se diferencira n puta u točki a. Ako je n beskonačnost, to je beskrajno diferencirana funkcija.
U određenom slučaju, kada je a = 0, serija se naziva i McLaurinova serija.
Razlika između niza i Taylorovog polinoma
Razlika između niza i Taylorovog polinoma je u tome što u prvom slučaju govorimo o beskonačnom nizu, dok je u drugom konačni niz.
Dakle, Taylorov polinom može se definirati kao polinomska aproksimacija funkcije n puta diferencijabilne u određenoj točki (a).
Primjeri Taylorove serije
Neki primjeri varijacija Taylorove serije su:
- Eksponencijalna funkcija:
- Trigonometrijske funkcije:
Primjene u seriji Taylor
Neke su primjene iz serije Taylor sljedeće:
- Analiza granica.
- Analiza stacionarnih točaka ili točaka stolica u funkcijama.
- Primjena u L'Hopitalovom teoremu (za rješavanje granica).
- Integralna procjena.
- Procjena konvergencija i divergencija pojedinih serija.
- Analiza financijske imovine i proizvoda, kada je cijena izražena kao nelinearna funkcija.
