Fraktalna geometrija je ona grana geometrije koja proučava fraktale. To su složeni objekti, sa strukturom koja se ponavlja kad je promatramo u različitim mjerilima.
Drugim riječima, fraktali se sastoje od dijelova koji su slični cjelini i nepravilne su strukture. Sjetimo se glavice brokule, koja se kad je podijelimo podijeli na nekoliko manjih brokula.
Fraktalna geometrija rođena je iz potrebe za boljom aproksimacijom stvarnosti, jer geometrija ravnina i geometrija svemira proučavaju likove i tijela koja, vrlo teško, nalazimo u prirodi.
Uzmite u obzir da planine nisu čunjevi i da će čak i egipatske piramide, ako ih pažljivo pogledamo, na svojim površinama imati određene nepravilnosti. Te se nesavršenosti nazivaju kvalitetom hrapavosti, a karakteristika je koja dodaje fraktalnu geometriju objektima koji više nemaju samo opseg, površinu i obujam.
Podrijetlo fraktalne geometrije
Podrijetlo fraktalne geometrije pionir je matematičara Benoita Mandelbrota, kao i njegovo najveće književno djelo: "Fraktalna geometrija prirode", objavljeno 1982. godine.
Riječ fraktal potječe od latinske riječi "fractus", što znači slomljen ili slomljen, a skovao ga je Mandelbrot 1975. godine.
Vrijedno je spomenuti da, iako je Mandelbrot formalizirao studij fraktalne ekonomije, nije bio prvi koji je primijetio postojanje fraktala u prirodi. Primjerice, ako pogledamo djela poznatog japanskog slikara Katsushike Hokusaija, vidjet ćemo da se taj koncept primjenjuje (a sam Mandelbrot ga je spomenuo u intervjuu). Primjerice, na slici "Veliki val" promatramo kako se unutar vala nalaze i drugi manji valovi.
Karakteristike fraktala
Glavne karakteristike fraktala su sljedeće:
- Samosličnost: Odnosi se na ono što smo već prije spomenuli. Ako dio fraktala promatramo u većoj mjeri (pobliže), izgledat će isto kao i cijeli objekt. Odnosno, dio je sličan cjelini, iako to nije uvijek točno. Na primjer, zamislimo romb sastavljen od mnogih malih rombova. Iako veličina ovih rombova malo varira, bio bi to fraktal.
- Fraktalna dimenzija nije jednaka topološkoj dimenziji: Da bismo objasnili topološku dimenziju, zamislimo da imamo ravninu podijeljenu na rešetke, poput mreže. Dakle, povukao sam crtu koja prolazi kroz 2 mreže. Kad bih podijelio sve mrežaste mreže na dva dijela, linija bi prolazila kroz 4 mreže. Odnosno, množi se s 2, što je jednako redukcijskom faktoru (2) povišenom na 1 (2 = 21), što je vrijedno viška broja dimenzija crte. Sad, ako imamo poligon, dvodimenzionalnu figuru, dogodi se nešto slično. Na primjer, ako imamo kvadrat koji obuhvaća četiri mreže i ponovno primijenimo faktor smanjenja 2, kvadrat će obuhvaćati 16 mreža. Odnosno, broj rešetki (4) množi se s 4, što je 2 povišeno na 2 (2 = 2)2), a eksponent je broj kvadrata dimenzija. Međutim, sve navedeno u fraktalima nije točno.
- Ni u jednom se trenutku ne mogu razlikovati: To u matematičkom smislu znači da se izvod prikazane funkcije ne može izračunati. U vizualnom smislu to znači da graf nije kontinuiran, već ima vrhove, pa nije moguće izvesti izvedbu.
Primjena fraktalne geometrije
Fraktalna geometrija može se primijeniti u raznim poljima. Na primjer, 1940. Lewis Fry Richardson primijetio je da se različite granice između zemlje i zemlje mijenjaju ovisno o mjerilu mjerenja. Odnosno, ako izmjerimo geografsku konturu, rezultat će se razlikovati ovisno o duljini ravnala koji se koristi. To je Mandelbrotu poslužilo kao referenca u članku iz 1967., objavljenom u časopisu Science: "Koliko je duga obala Velike Britanije?"
To se može objasniti, ako uzmemo u obzir da su zemljopisni teritoriji fraktali i, kako ih vidimo u većem opsegu, vidimo više nepravilnosti.
Sljedeća primjena fraktalne geometrije je analiza seizmičkih kretanja i kretanja na tržištu dionica.
Uz to, moramo prepoznati da su fraktali poslužili kao inspiracija umjetnicima poput spomenute Hokusa, a imamo i slučaj Jacksona Pollocka.