Matematičko očekivanje slučajne varijable X broj je koji izražava srednju vrijednost pojave koju ova varijabla predstavlja.
Matematičko očekivanje, koje se nazivaju i očekivanom vrijednošću, jednako je zbroju vjerojatnosti da postoji slučajni događaj, pomnožen s vrijednošću slučajnog događaja. Drugim riječima, to je srednja vrijednost skupa podataka. To uzimajući u obzir da je pojam matematičko očekivanje skovan teorijom vjerojatnosti.
Dok se u matematici prosječna vrijednost događaja koji se dogodio naziva se matematičkom sredinom. U diskretnim raspodjelama s jednakom vjerojatnosti u svakom događaju, aritmetička sredina je ista kao i matematičko očekivanje.
Primjer matematičkih očekivanja
Pogledajmo jednostavan primjer kako bismo to razumjeli.
Zamislimo novčić. Dvije glave, glave i repovi. Koje bi bilo matematičko očekivanje (očekivana vrijednost) da će izaći glavom?
Matematičko očekivanje izračunalo bi se kao vjerojatnost da će, bacajući novčić vrlo velik broj puta, doći do izražaja.
Budući da novčić može sletjeti samo na jedno od ta dva položaja i oba imaju jednaku vjerojatnost da će izaći, reći ćemo da je matematičko očekivanje da će izaći glavom jedno od dva ili što je isto, 50% vrijeme.
Radit ćemo test i bacit ćemo novčić 10 puta. Pretpostavimo da je novčić savršen.
Okreti i rezultat:
- Skup.
- Križ.
- Križ.
- Skup.
- Križ.
- Skup.
- Skup.
- Skup.
- Križ.
- Križ.
Koliko je puta bilo glava (računamo C-je)? 5 puta Koliko su puta izašli repovi (računamo X-e)? 5 puta. Vjerojatnost da ćete biti glave bit će 5/10 = 0,5 ili, kao postotak, 50%.
Nakon što se taj događaj dogodio, možemo izračunati matematičku sredinu broja događaja svakog događaja. Skupa strana je izašla svaka dva puta, to jest 50% vremena. Srednja vrijednost odgovara matematičkom očekivanju.
Proračun matematičkog očekivanja
Matematičko očekivanje izračunava se pomoću vjerojatnosti svakog događaja. Formula koja formalizira ovaj izračun navedena je kako slijedi:
Gdje:
- x = vrijednost događaja.
- Str = Vjerojatnost da se dogodi.
- ja = Razdoblje u kojem se ovaj događaj događa.
- N = Ukupan broj razdoblja ili opažanja.
Vjerojatnost da se događaj dogodi nije uvijek ista kao kod kovanica. Bezbroj je slučajeva u kojima je vjerojatnije da će jedan događaj izaći više od drugog. Zbog toga koristimo P. U formuli također moramo množiti s vrijednošću događaja pri izračunavanju matematičkih brojeva. Ispod vidimo primjer.
Čemu služi matematičko očekivanje?
Matematičko očekivanje koristi se u svim onim disciplinama u kojima im je svojstvena vjerojatnost događaja. Discipline poput teorijske statistike, kvantne fizike, ekonometrije, biologije ili financijskih tržišta. Veliki broj procesa i događaja koji se događaju u svijetu nisu točni. Jasan i lako razumljiv primjer je primjer tržišta dionica.
Na burzi se sve izračunava na temelju očekivanih vrijednosti. Zašto očekivane vrijednosti? Jer to je ono za što se nadamo da će se dogoditi, ali to ne možemo potvrditi. Sve se temelji na vjerojatnostima, a ne na sigurnostima. Ako je očekivana vrijednost ili matematičko očekivanje povrata imovine 10% godišnje, to znači da će, na temelju podataka iz prošlosti, najvjerojatnije povrat biti opet 10%. Ako uzmemo u obzir, naravno, matematička očekivanja kao metodu donošenja investicijskih odluka.
Unutar teorija financijskog tržišta, mnogi koriste ovaj koncept matematičkih očekivanja. Među tim teorijama je i ona koju je Markowitz razvio na učinkovitim novčanicima.
U brojkama, koje pojednostavnjuju, pretpostavimo da su prinosi financijske imovine sljedeći:
Isplativost u godinama 1, 2, 3 i 4.
- 12%.
- 6%.
- 15%
- 12%
Očekivana vrijednost bila bi zbroj povrata pomnožen s njihovom vjerojatnošću da se dogodi. Vjerojatnost da se svaka profitabilnost "dogodi" je 0,25. Imamo četiri opažanja, četiri godine. Svake godine imaju istu vjerojatnost da se ponove.
Nada = (12 x 0,25) + (6 x 0,25) + (15 x 0,25) + (12 x 0,25) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Uzimajući u obzir ove podatke, reći ćemo da je očekivani povrat povrata imovine 11,25%.
Životni vijek