Binomna raspodjela je diskretna raspodjela vjerojatnosti koja opisuje broj uspjeha pri provođenju n neovisnih eksperimenata na slučajnoj varijabli..
Postoji velika raznolikost eksperimenata ili događaja koji se mogu okarakterizirati pod ovom raspodjelom vjerojatnosti. Zamislite bacanje novčića u kojem događaj "udaranje glavom" definiramo kao uspjeh. Ako bacimo novčić 5 puta i prebrojimo pogotke (glave) koje smo dobili, naša raspodjela vjerojatnosti odgovarala bi binomnoj raspodjeli.
Stoga se binomna raspodjela shvaća kao niz testova ili ispitivanja u kojima možemo imati samo 2 ishoda (uspjeh ili neuspjeh), a uspjeh je naša slučajna varijabla.
Svojstva binomne raspodjele
Da bi se slučajna varijabla mogla smatrati binomskom raspodjelom, ona mora ispunjavati sljedeća svojstva:
- U svakom pokusu, eksperimentu ili testu moguća su samo dva ishoda (uspjeh ili neuspjeh).
- Vjerojatnost uspjeha mora biti konstantna. To predstavlja slovo str. Vjerojatnost okretanja glava novčića je 0,5 i to je konstantno, jer se novčić ne mijenja u svakom eksperimentu, a vjerojatnost glava je konstantna.
- Vjerojatnost kvara također mora biti konstantna. To je predstavljeno slovom q = 1-p. Važno je napomenuti da pomoću ove jednadžbe, znajući p ili znajući q, možemo dobiti onu koja nam nedostaje.
- Rezultat dobiven u svakom eksperimentu neovisan je od prethodnog. Stoga ono što se događa u svakom eksperimentu ne utječe na sljedeće.
- Događaji se međusobno isključuju, odnosno ne mogu se oba dogoditi istodobno. Nije moguće biti muškarac i žena istovremeno ili da će prilikom bacanja novčića istodobno izaći glavom i repom.
- Događaji su kolektivno iscrpni, odnosno mora se dogoditi barem jedan od dva. Ako niste muškarac, žena ste i, ako bacite novčić, ako vam ne padne na pamet, to moraju biti repovi.
- Slučajna varijabla koja slijedi binomnu raspodjelu obično je predstavljena kao X ~ (n, p), gdje n predstavlja broj pokusa ili eksperimenta, a p vjerojatnost uspjeha.
Formula binomne raspodjele
Formula za izračunavanje normalne raspodjele je:
Gdje:
n = broj pokusa / pokusa
x = broj uspjeha
p = vjerojatnost uspjeha
q = vjerojatnost kvara (1-p)
Važno je napomenuti da izraz u uglastim zagradama nije matrični izraz, već je rezultat kombinacije bez ponavljanja. To se dobiva sljedećom formulom:
Uskličnik u prethodnom izrazu predstavlja faktorski simbol.
Primjer binomne raspodjele
Zamislimo da je 80% ljudi na svijetu vidjelo završnu utakmicu posljednjeg nogometnog Svjetskog kupa. Nakon događaja sastaju se 4 prijatelja kako bi razgovarali. Kolika je vjerojatnost da su njih 3 vidjeli igru?
Definirajmo varijable eksperimenta:
n = 4 (je ukupan uzorak koji imamo)
x = broj uspjeha, što je u ovom slučaju jednako 3, jer tražimo vjerojatnost da su je vidjeli 3 od 4 prijatelja.
p = vjerojatnost uspjeha (0,8)
q = vjerojatnost kvara (0,2). Ovaj se rezultat dobiva oduzimanjem 1-p.
Nakon definiranja svih naših varijabli, jednostavno zamjenjujemo u formuli.
Brojnik faktorijela dobio bi se množenjem 4 * 3 * 2 * 1 = 24, a u nazivniku bismo imali 3 * 2 * 1 * 1 = 6. Dakle, rezultat faktorijela bio bi 24/6 = 4 .
Izvan zagrade imamo dva broja. Prvi bi bio 0,8 3 = 0,512, a drugi 0,2 (budući da je 4-3 = 1 i svaki broj povišen na 1 je isti).
Stoga bi naš konačni rezultat bio: 4 * 0,512 * 0,2 = 0,4096. Ako pomnožimo sa 100 imamo 40,96% vjerojatnosti da su 3 od 4 prijatelja vidjela finalnu utakmicu Svjetskog kupa.