Težište trokuta točka je u kojoj se sijeku medijani lika. Također je poznat kao centroid.
Treba imati na umu da je medijan segment koji spaja vrh trokuta sa središnjicom njegove suprotne stranice. Tako svaki trokut ima tri medijane.
Na primjer, u gornjem trokutu težište je točka O, a medijani su segmenti AF, BD i CE.
Važno svojstvo težišta je da je njegova udaljenost od svakog vrha dvostruka udaljenost od suprotne strane.
Da bismo to bolje objasnili, u svakoj se medijani mogu razlikovati dva dijela:
- Udaljenost od vrha do težišta, koja je 2/3 duljine medijane
- Preostala 1/3, što je udaljenost od težišta do središnje točke suprotne strane.
Na gornjoj slici, na primjer, točno je da:
Kako pronaći težište trokuta
Da bismo pronašli težište trokuta moramo uzeti u obzir da, znajući koordinate tri vrha trokuta, koordinate težišta odgovaraju njegovoj aritmetičkoj sredini. Dakle, pretpostavimo da su vrhovi:
Tada bi koordinate težišta, koje ćemo nazvati O, bile:
Sada je također moguće pronaći težište ako imamo jednadžbe linija koje sadrže najmanje dvije srednje vrijednosti.
Sjetimo se da se u analitičkoj geometriji linija može izraziti kao algebarska jednadžba prvog reda kao:
y = xm + b
U prikazanoj jednadžbi, y je koordinata na osi ordinata (okomita), x je koordinata na osi apscisa (vodoravna), m je nagib (nagib) koji čini liniju u odnosu na os apscise, a b je točka u kojoj linija presijeca osu ordinata.
Da bismo bolje razumjeli navedeno, pogledajmo primjer.
Primjer težišta
Pretpostavimo da imamo trokut kojem poznajemo dva vrha:
A (0,4) i B (-2,1)
Sada je dalje poznato da je središnja točka stranice nasuprot tjemena A (3,1), a središnja točka stranice nasuprot tjemena B (4, 2,5). Vrijedno je pojasniti da koristimo točku sa zarezom kako nas ne bi zamijenili zarezom koji razdvaja decimale.
Prvo ćemo pronaći jednadžbu pravca koja sadrži medijan koji počinje od vrha A, uzimajući u obzir da nagib pri prelasku iz jedne točke u drugu mora uvijek biti jednak. Nagib je varijacija u vertikalnoj osi između varijacije u vodoravnoj osi:
Ono što smo učinili jest pretpostaviti da linija prolazi kroz točku (x1, y1), koja je vrh A (0, 4), i kroz točku (x2, y2) koja je sredina njegove suprotne strane (3, 1).
Zatim, radimo isto s vrhom B (-2,1) i sredinom njegove suprotne strane (-4, -2,5):
Sljedeći korak izjednačujemo desnu stranu dviju jednadžbi za koje je pronađeno da će riješiti vrijednost na osi X kada se obje podudaraju:
Tada u bilo kojoj jednadžbi rješavamo vrijednost y:
Stoga je težište trokuta točka (2,2) u kartezijanskoj ravnini.