Simetrala trokuta je segment koji dijeli jedan od svojih unutarnjih kutova na dva jednaka dijela i nastavlja sve dok ne dosegne stranu suprotnu od tog kuta. Svaki unutarnji kut trokuta ima simetralu.
Tada moramo primijetiti da svaki trokut ima tri simetrale, od kojih svaka počinje od svakog vrha prema suprotnoj strani.
Kao što vidimo na slici, simetrale se sijeku u točki I, što je poticaj. Ovo je središte kruga upisanog u trokut. Taj je opseg, pak, tangenta na lik.
Također treba napomenuti da su na slici segmenti AD, FC i BE unutarnje simetrale trokuta, koje se izračunavaju prema sljedećim formulama:
Gdje je s poluperimetar:
Sjetimo se da su simetrale ravne, odnosno jednodimenzionalni elementi koji se neograničeno protežu u jednom smjeru, nemaju ni ishodište ni kraj. Međutim, može se izračunati duljina unutarnjih simetrala, koji su segmenti unutar trokuta.
Sljedeća točka koju treba istaknuti je da je poticaj jednako udaljen od stranica trokuta, odnosno, promatrajući gornju sliku, segment ID jednak je segmentu IE, a zauzvrat jednak segmentu IF.
Treba također napomenuti da će tri simetrale jednakostraničnog trokuta biti jednake, a ako je duljina svake stranice slike L, tada će duljina svake simetrale biti:
Teorem o simetrali
Teorem o simetrali govori nam da je omjer duljine dviju stranica koje čine kut u odnosu na jednu od njegovih simetrala jednak je podjeli između duljina segmenata na koje je podijeljena stranica koja presijeca odgovarajuću simetralu.
Matematički gledano, na donjoj slici, dok je AD unutarnja simetrala, bilo bi točno da:
Isto tako, ispunjeno je da:
Primjer simetrale
Pretpostavimo da imamo trokut čije su stranice 10, 17 i 13 metara. Koliko su duge njihove unutarnje simetrale? (s je poluperimetar, a simetrale su b1, b2 i b3.
