Taylorov polinom je polinomska aproksimacija funkcijen puta izvedljiva u određenoj točki.
Drugim riječima, Taylorov polinom je konačni zbroj lokalnih derivata koji se procjenjuju u određenoj točki.
Matematički
Mi definiramo:
f (x): funkcija x.
f (x0): funkcijaxu određenoj točki x0. Formalno je napisano:
F(n)(x):n-ti izvod funkcije f (x).
Prijave
Taylorova ekspanzija općenito se primjenjuje na financijsku imovinu i proizvode čija se cijena izražava kao nelinearna funkcija. Primjerice, cijena kratkoročnog dužničkog vrijednosnog papira nelinearna je funkcija koja ovisi o kamatnim stopama. Drugi bi primjer bile opcije, gdje su i faktori rizika i profitabilnost nelinearne funkcije. Izračun trajanja veze Taylorov je polinom prvog stupnja.
Primjer polimera Taylora
Želimo pronaći drugi red Taylorove aproksimacije funkcije f (x) u točki x0=1.
1. Izrađujemo relevantne izvode funkcije f (x).
U ovom slučaju traže nas do drugog reda, pa ćemo napraviti prvi i drugi izvod funkcije f (x):
- Prva izvedenica:
- Druga izvedenica:
2. Zamjenjujemo x0= 1 u f (x), f '(x) i f' '(x):
3. Jednom kad imamo vrijednost izvedenica u točki x0= 1, zamjenjujemo ga u Taylorovoj aproksimaciji:
Malo popravljamo polinom:
Provjera vrijednosti
Taylorova aproksimacija bit će primjerena što je bliže x0 biti vrijednosti. Da bismo to provjerili, zamjenjujemo vrijednosti blizu x0 i u izvornoj funkciji i u gornjoj Taylorovoj aproksimaciji:
Kada je x0=1
Izvorna funkcija:
Taylorova aproksimacija:
Kada je x0=1,05
Izvorna funkcija:
Taylorova aproksimacija:
Kada je x0=1,10
Izvorna funkcija:
Taylorova aproksimacija:
U prvom slučaju kada je x0= 1, vidimo da nam i izvorna funkcija i Taylorova aproksimacija daju isti rezultat. To je zbog sastava Taylorovog polinoma koji smo stvorili pomoću lokalnih derivata. Ti su derivati procijenjeni u određenoj točki, x0= 1, kako bi se dobila vrijednost i stvorio polinom. Dakle, što je dalje od te određene točke, x0= 1, to će aproksimacija biti manje prikladna za izvornu nelinearnu funkciju. U slučajevima kada x0= 1,05 i x0= 1,10 postoji značajna razlika između rezultata izvorne funkcije i Taylorove aproksimacije.
Ali … razlika je vrlo mala, zar ne?
Taylorov polinomni prikaz
Proširimo li krajnosti (gdje se aproksimacija odmiče od x0=1):
Na prvi pogled može se činiti beznačajnim, ali kada radimo na grafikonu i radimo aproksimacije, vrlo je važno uzeti u obzir barem prve četiri decimale. Osnova aproksimacija je preciznost.