Skup algebre - što je to, definicija i pojam

Algebra skupova je područje proučavanja, unutar matematike i logike, usredotočeno na operacije koje se mogu izvoditi između skupova.

Algebra skupova dio je onoga što znamo kao teoriju skupova.

Treba imati na umu da je skup grupiranje elemenata različitih vrsta, poput slova, brojeva, simbola, funkcija, geometrijskih figura, između ostalog.

Postavite operacije

Glavne operacije sa skupovima su sljedeće:

• Unija: Unija dva ili više skupova sadrži sve elemente koji pripadaju barem jednom od tih skupova. Označeno je slovom U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

• Križanje: Presjek dva ili više skupova uključuje elemente koje ti skupovi dijele. Označeno je obrnutim U (∩). Primjer:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

• Razlika: Razlika jednog skupa u odnosu na drugi jednaka je elementima prvog skupa umanjenog za elemente drugog. Označeno je znakom ili -. Gledano na drugi način, x ∈ a A B ako je x ∈ A, ali x ∉ B. Primjer:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

• Upotpuniti, dopuna: Dopuna skupa uključuje sve elemente koji nisu sadržani u tom skupu (ali koji pripadaju drugom univerzalnom referentnom skupu). Označeno je natpisom C. Primjer:

A = (3,9,12,15,18)

U (Svemir) = Svi višekratnici od 3 koji su cijeli prirodni brojevi manji od 30.

DO^C=(6,21,24,27)

• Simetrična razlika: Simetrična razlika dvaju skupova uključuje sve elemente koji se nalaze u jednom ili drugom, ali ne oba istovremeno. Odnosno, to je unija skupova umanjena za njihovo presijecanje. Njegov simbol je Δ. Primjer:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

• Kartezijanski proizvod: To je operacija koja rezultira novim skupom, koji kao elemente sadrži uređene parove ili korpe (uređene serije) elemenata koji pripadaju dvama ili više skupova. Naručeni su parovi ako se radi o dva skupa i tuple ako imamo više od dva skupa. Primjer:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Zakoni postavljene algebre

Zakoni algebre skupova su sljedeći:

• Idempotencija: Unija ili presjek skupa sa sobom rezultira istim skupom:

XUX = X

X∩X = X

• Komutativno: Redoslijed faktora ne mijenja rezultat pri pronalaženju unije ili presjeka skupova:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

• Distributivni: Unija skupa X, s presjekom dva druga skupa Y i Z, jednaka je presjeku unije X i Y, s unijom X i Z. To je:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Nadalje, isto vrijedi ako obrnemo redoslijed operacija:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

• Udruženje: Pojmovi operacije spajanja ili presijecanja nekoliko skupova mogu se nejasno grupirati, uvijek dobivajući isti rezultat:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

• Morganov zakon: Dopuna unije dvaju skupova jednaka je presjeku njihovih komplemenata, a dopuna sjecišta dvaju skupova jednaka je uniji njihovih komplemenata.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUj^C

• Zakon o razlikama: Razlika jednog skupa u odnosu na drugi jednaka je presjeku prvog s komplementom drugog:

(X-Y) = X∩Y^C

• Dopunski zakoni:
  • Unija skupa s njegovim komplementom nije jednaka univerzalnom skupu. XUX^C= U
  • Sjecište skupa s njegovim komplementom jednako je nuli ili praznom skupu. X∩X^C=∅
  • Dopuna komplementa skupa X jednaka je skupu X. (X^C)^C= X
  • Dopuna univerzalnog skupa jednaka je nulu ili praznom skupu. x^C=∅
  • Dopuna praznog skupa jednaka je univerzalnom skupu. ∅^C= U

• Zakoni apsorpcije:
  • XU (X∩Y) = X
  • X∩ (XUY) = X
  • XU (X^C∩Y) = XUY
  • X∩ (X^CUY) = X∩Y