Skalarni umnožak dva vektora prema njegovoj geometrijskoj definiciji je množenje njihovih modula kosinusom kuta koji tvore oba vektora.
Drugim riječima, točkasti umnožak dvaju vektora treba stvoriti umnožak modula oba vektora i kosinusa kuta.
Formula skalarnog proizvoda
S obzirom na dva vektora, umnožak se izračunava na sljedeći način:
Zove se skalarni proizvod jer će rezultat modula uvijek biti skalar, na isti način kao što će biti i kosinus kuta. Rezultat ovog množenja bit će broj koji izražava veličinu i nema smjer. Drugim riječima, rezultat točkanog proizvoda bit će broj, a ne vektor. Stoga ćemo rezultirajući broj izraziti kao bilo koji broj, a ne kao vektor.
Da bi se znala veličina svakog vektora, izračunava se modul. Dakle, ako pomnožimo veličinu jednog od vektora (v) s veličinom drugog vektora (a) s kosinusom kuta koji obojica tvore, znat ćemo koliko ukupno mjere dva vektora.
Modul vektora (v) pomnožen s kosinusom kuta poznat je i kao projekcija vektora v na vektor a.
Pogledajte drugi način za izračunavanje umnoška dvaju vektora
Postupak
- Izračunajte module vektora.
S obzirom na bilo koji vektor od tri dimenzije,
Formula za izračunavanje modula vektora je:
Svaki indeks vektora označava dimenzije, u ovom je slučaju vektor (a) trodimenzionalni vektor jer ima tri koordinate.
2. Izračunaj kosinus kuta.
Primjer točkanog umnoška dvaju vektora
Izračunajte skalarni umnožak sljedećih trodimenzionalnih vektora znajući da je kut koji tvore 45 stupnjeva.
Da bismo izračunali skalarni umnožak prvo moramo izračunati modul vektora:
Nakon što izračunamo module dvaju vektora i znamo kut, trebamo ih samo pomnožiti:
Stoga je umnožak prethodnih vektora 1,7320 jedinica.
Grafikon
Sljedeći bi vektori izgledali kako bi u trodimenzionalnom grafu izgledali kako slijedi:
Za vektor (c) možemo vidjeti da je z komponenta nula, stoga će biti paralelna osi apscise. Umjesto toga, z komponenta vektora (b) je pozitivna, pa možemo vidjeti kako se naginje prema gore. Oba vektora nalaze se u kvadrantu pozitiva u pogledu komponente, jer je pozitivna i ista je.