Antisimetrična matrica je kvadratna matrica gdje su elementi izvan glavne dijagonale simetrično jednaki, ali oni ispod glavne dijagonale nose negativan predznak.
Drugim riječima, antisimetrična matrica je matrica koja ima jednak broj redaka (n) i stupaca (m), a elementi na obje strane glavne dijagonale se nadopunjuju.
Budući da su elementi iznad i ispod glavne dijagonale pomaknuti, elementi na glavnoj dijagonali su nule.
Preporučeni članak: nesimetrična matrica i simetrična matrica.
Karakteristike antisimetrične matrice
Karakteristike antisimetrične matrice su:
- Kvadratna matrica.
- Simetrična matrica + negativni predznak (-) u elementima ispod glavne dijagonale.
- Elementi glavne dijagonale su nule (0).
Antisimetrična matrica
S obzirom na kvadratnu matricu AS,
Možemo vidjeti kako se isti elementi pojavljuju na obje strane glavne dijagonale, ali s posebnošću da elementi ispod glavne dijagonale imaju negativan prednji znak. Također, glavnu dijagonalu čine nule.
Antisimetrična matrica i ogledala
Na isti način kao i simetrična matrica, antisimetrična matrica može se razumjeti i na primjeru zrcala.
Ako se pogledamo u ogledalu i podignemo desnu ruku, vidjet ćemo da osoba u ogledalu podiže lijevu ruku. Drugim riječima, kretanje zrcala nadopunjuje naše pa bi stoga zbroj oba rezultirao nulom.
Gornju ideju možemo izraziti na sljedeći način i zaključiti:
(Podigni ruku pravo) - (Podigni ruku lijevo) = 0
(Podigni ruku pravo) = (Podigni ruku lijevo)
Glavna dijagonala djeluje kao zrcalo i vidimo suprotstavljene elemente s obje strane glavne dijagonale. Neutralna funkcija (=) preslikava se na glavnu dijagonalu.
Vlasništvo
- Transponirana matrica antisimetrične matrice jednaka je antisimetričnoj matrici pomnoženoj s (-1).
Drugim riječima, to bi bilo poput dodavanja negativnog predznaka ispred antisimetrične matrice.
Matematički,
Možemo vidjeti da s oba postupka dolazimo do istog rezultata: izrada transponirane matrice ili množenje s (-1) antisimetričnom matricom.
Nesimetrična matrica vs Antisimetrična matrica vs Simetrična matrica
Primjer zrcala u slučaju simetrične matrice dovoljan je da odražava isto kretanje, odnosno ako podignemo ruku, možemo vidjeti podignutu ruku, ali nije potrebno navesti što je to. U slučaju antisimetrične matrice, moramo provjeriti koji krak vidimo u zrcalu i utvrditi radi li se o antisimetričnoj matrici.
Ako podignemo ruku i u ogledalu vidimo da …
- Ista je ruka podignuta, sa stajališta osobe u ogledalu, tada je to simetrična matrica.
- Suprotna ruka je podignuta, sa stajališta osobe u zrcalu, tada je to antisimetrična matrica.
- Ako nijedna ruka nije podignuta ili je podignuta više od jedne, sa stajališta osobe u zrcalu, onda je to nesimetrična matrica.