Normalna raspodjela je teoretski model sposoban za zadovoljavajuću aproksimaciju vrijednosti slučajne varijable u idealnu situaciju.
Drugim riječima, normalna raspodjela odgovara slučajnoj varijabli funkciji koja ovisi o srednjoj vrijednosti i standardnom odstupanju. Odnosno, funkcija i slučajna varijabla imat će isti prikaz, ali s malim razlikama.
Neprekidna slučajna varijabla može uzeti bilo koji stvarni broj. Na primjer, povrat dionica, rezultati ispitivanja, IQ i standardne pogreške kontinuirane su slučajne varijable.
Diskretna slučajna varijabla uzima prirodne vrijednosti. Na primjer, broj studenata na sveučilištu.
Normalna raspodjela osnova je za druge raspodjele kao što su Studentova t raspodjela, hi-kvadrat raspodjela, Fisherova F raspodjela i druge raspodjele.
Formula normalne raspodjele
S obzirom na slučajnu varijablu X, kažemo da se učestalost njegovih promatranja može na zadovoljavajući način približiti normalnoj raspodjeli tako da:
Gdje su parametri raspodjele srednja ili središnja vrijednost i standardno odstupanje:
Drugim riječima, kažemo da se učestalost slučajne varijable X može prikazati normalnom raspodjelom.
Zastupanje
Funkcija gustoće vjerojatnosti slučajne varijable koja slijedi normalnu raspodjelu.
Svojstva
- To je simetrična raspodjela. Vrijednost srednje vrijednosti, medijana i modusa podudaraju se. Matematički,
Prosjek = medijan = način
- Unimodalna raspodjela. Vrijednosti koje su češće ili je vjerojatnije da će se pojaviti su oko srednje vrijednosti. Drugim riječima, kad se odmaknemo od srednje vrijednosti, vjerojatnost pojave vrijednosti i njihova učestalost opada.
Što nam treba da bismo predstavljali normalnu raspodjelu?
- Slučajna varijabla.
- Izračunajte srednju vrijednost.
- Izračunajte standardno odstupanje.
- Odlučite funkciju koju želimo predstavljati: funkciju gustoće vjerojatnosti ili funkciju raspodjele.
Teorijski primjer
Pretpostavljamo da želimo znati mogu li se rezultati testa na zadovoljavajući način približiti normalnoj raspodjeli.
Znamo da 476 učenika sudjeluje u ovom testu i da se rezultati mogu kretati od 0 do 10. Izračunavamo srednju i standardnu devijaciju od promatranja (rezultati testa).
Dakle, slučajnu varijablu X definiramo kao rezultate testa koji ovise o svakom pojedinačnom ishodu. Matematički,
Rezultat svakog učenika bilježi se u tablicu. Na taj ćemo način dobiti globalnu viziju rezultata i njihove učestalosti.
| Rezultati | Frekvencija |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| UKUPNO | 476 |
Nakon izrade tablice, predstavljamo rezultate ispitivanja i frekvencije. Ako grafikon izgleda kao prethodna slika i zadovoljava svojstva, tada se varijabla rezultata ispitivanja može na zadovoljavajući način približiti normalnoj raspodjeli srednje vrijednosti 4,8 i standardnom odstupanju od 3,09.
Mogu li se rezultati ispitivanja približiti normalnoj raspodjeli?
Razlozi za uzimanje u obzir da varijabla rezultata ispitivanja slijedi normalnu raspodjelu:
- Simetrična raspodjela. Odnosno, postoji jednak broj opažanja i s desne i s lijeve strane središnje vrijednosti. Također, da srednja vrijednost, medijan i način imaju istu vrijednost.
Prosjek = medijan = način rada = 5
- Opažanja s najviše učestalosti ili vjerojatnosti su oko središnje vrijednosti. Drugim riječima, opažanja s manje učestalosti ili vjerojatnosti daleko su od središnje vrijednosti.
Normalna raspodjela opisuje slučajnu varijablu aproksimacijom koja stvara standardne pogreške (trake iznad svakog stupca). Te su pogreške razlika između stvarnih promatranja (rezultata) i funkcije gustoće (normalna raspodjela).
