Bayesov teorem - što je to, definicija i pojam

Bayesov se teorem koristi za izračunavanje vjerojatnosti događaja, imajući unaprijed informacije o tom događaju.

Možemo izračunati vjerojatnost događaja A, također znajući da taj A ispunjava određenu karakteristiku koja određuje njegovu vjerojatnost. Bayesov teorem vjerojatnost razumije obrnuto od teorema ukupne vjerojatnosti. Teorem o ukupnoj vjerojatnosti zaključuje o događaju B iz rezultata događaja A. Sa svoje strane Bayes izračunava vjerojatnost A uvjetovanu B.

Bayesov teorem je široko ispitivan. Što je uglavnom bilo zbog loše primjene. Budući da su sve pretpostavke disjunktorskih i iscrpnih događaja ispunjene, teorem je potpuno valjan.

Bayesova formula teorema

Da bismo izračunali vjerojatnost kako je definirao Bayes u ovoj vrsti događaja, potrebna nam je formula. Formula je matematički definirana kao:

Gdje je B događaj o kojem imamo prethodne informacije, a A (n) su različiti uvjetovani događaji. U dijelu brojnika imamo uvjetnu vjerojatnost, a u donjem ukupnu vjerojatnost. U svakom slučaju, iako se formula čini pomalo apstraktnom, vrlo je jednostavna. Da bismo to demonstrirali, poslužit ćemo se primjerom gdje ćemo umjesto A (1), A (2) i A (3) izravno koristiti A, B i C.

Primjer Bayesova teorema

Tvrtka ima tvornicu u Sjedinjenim Državama koja ima tri stroja, A, B i C, koji proizvode posude za boce s vodom. Poznato je da stroj A proizvodi 40% ukupne količine, stroj B 30%, a stroj C 30%. Također je poznato da svaki stroj proizvodi neispravnu ambalažu. Na taj način da stroj A proizvodi 2% neispravnih paketa ukupne proizvodnje, stroj B 3%, a stroj C 5%. Međutim, postavljaju se dva pitanja:

P (A) = 0,40 P (D / A) = 0,02

P (B) = 0,30 P (D / B) = 0,03

P (C) = 0,30 P (D / C) = 0,05

1. Ako je spremnik proizveo tvornica ove tvrtke u Sjedinjenim Državama, koja je vjerojatnost da je neispravan?

Izračunava se ukupna vjerojatnost. Budući da iz različitih događaja izračunavamo vjerojatnost da je neispravan.

P (D) = (P (A) x P (D / A)) + (P (B) x P (D / B)) + (P (C) x P (D / C)) = (0, 4 x 0,02) + (0,3 x 0,03) + (0,3 x 0,05) = 0,032

Izraženi u postocima, rekli bismo da je vjerojatnost da je spremnik proizveden u tvornici ove tvrtke u Sjedinjenim Državama neispravan 3,2%.

2. Nastavljajući s prethodnim pitanjem, ako je spremnik nabavljen i neispravan, kolika je vjerojatnost da ga je proizveo stroj A? I stroj B? I stroj C?

Ovdje se koristi Bayesov teorem. Imamo prethodne informacije, odnosno znamo da je ambalaža neispravna. Naravno, znajući da je neispravan, želimo znati kolika je vjerojatnost da ga je proizveo jedan od strojeva.

P (A / D) = (P (A) x P (D / A)) / P (D) = (0,40 x 0,02) / 0,032 = 0,25

P (B / D) = (P (B) x P (D / B)) / P (D) = (0,30 x 0,03) / 0,032 = 0,28

P (C / D) = (P (C) x P (D / C)) / P (D) = (0,30 x 0,05) / 0,032 = 0,47

Znajući da je spremnik neispravan, vjerojatnost da ga je proizveo stroj A iznosi 25%, da ga je proizveo stroj B iznosi 28% i da ga je proizveo stroj C 47%.