Black-Scholesov model formula je koja se koristi za vrednovanje cijene financijske opcije. Ova se formula temelji na teoriji stohastičkih procesa.
Black-Scholesov model svoje ime duguje dvojici matematičara koji su ga razvili, Fisheru Blacku i Myronu Scholesu. Black-Scholes izvorno se koristio za vrednovanje opcija bez dividende. Ili što je isto, pokušati izračunati kolika bi trebala biti „poštena“ cijena financijske opcije. Kasnije je izračun proširen za sve vrste opcija.
Ovaj je model dobio Nobelovu nagradu za ekonomiju 1997. Na taj je način postao jedan od temeljnih stupova moderne financijske teorije. Mnogi analitičari koriste ovu metodu kako bi procijenili koja bi trebala biti odgovarajuća cijena za financijsku opciju.
Pretpostavke modela Black-Scholes
Prije ulaska u formulu i naknadnog izračuna potrebno je razmotriti model. Neke početne pretpostavke koje model uzima u obzir i koje ćemo navesti u nastavku:
- Nema transakcijskih troškova niti poreza.
- Bezrizična kamatna stopa je stalna za sva dospijeća.
- Dionice ne isplaćuju dividende.
- Volatilnost ostaje konstantna.
- Kratka prodaja je dozvoljena.
- Nema mogućnosti arbitraže bez rizika.
- Pretpostavimo da je raspodjela vjerojatnosti povrata normalna raspodjela.
Black-Scholesova formula
Formula za cijene opcije Black-Scholes izražena je na sljedeći način:
Spremni ulagati na tržišta?
Jedan od najvećih svjetskih brokera, eToro, učinio je ulaganje na financijskim tržištima dostupnijim. Sada svatko može ulagati u dionice ili kupiti dio dionica s provizijom od 0%. Počnite ulagati odmah s pologom od samo 200 USD. Imajte na umu da je važno trenirati za ulaganje, ali naravno danas to može učiniti svatko.
Vaš je kapital u opasnosti. Mogu se primijeniti i druge naknade. Za više informacija posjetite stocks.eToro.com
Želim investirati s Etorom
Gdje:
- C = Kupnja opcije danas (T = 0) u eurima.
- T = razdoblje do dospijeća u godinama (3 mjeseca = 0,25 godine).
- r = kamatna stopa bez rizika. Isplativost državnog duga koliko po jednom
- sigma = volatilnost prema jednom.
- X = Cijena vježbe opcije kupnje u eurima.
- S = Cijena dionice u T = 0 u eurima.
- N (d1 i d2) = Vrijednost kumulativne funkcije vjerojatnosti normalne raspodjele s nultom sredinom i jednim standardnim odstupanjem.
Primjer proračuna Black-Scholesa
Pretpostavimo da želimo izračunati vrijednost call opcije koja mora isteći u roku od 3 mjeseca, s udarnom cijenom od 40 eura. Cijena dionice je 50 eura. Godišnja volatilnost iznosi 30% (0,3). A tromjesečna kamata bez rizika iznosi 10%. Dionica ne isplaćuje dividendu sljedeća tri mjeseca.
Stoga:
- C = Kupnja opcije danas (T = 0) u eurima.
- T = 0,25.
- r = 0,1.
- sigma = 0,3.
- X = 40 eura.
- S = 50 eura.
Izračunavamo d1 i d2:
- d1 = 1,72.
- d2 = 1,57.
- N (d1) = 0,9573.
- N (d2) = 0,9418.
Inače, za dobivanje posljednjih vrijednosti d1 i d2 potrebno je koristiti tablice vjerojatnosti.
Nakon što imamo sve podatke, u početnu formulu zamjenjujemo:
Prema tome, prema Black-Scholesu, primjerena cijena za našu call opciju je 11.123 eura.
Ograničenja Black-Scholesova modela
Iako model Black-Scholes nudi briljantno rješenje problema izračunavanja odgovarajuće cijene za opciju, on ima određena ograničenja.
To je model, odnosno prilagodba stvarnosti. Stoga je, kao prilagodbu stvarnosti, ne predstavlja savršeno. Black-Scholes izračunava cijenu za opcije koje se mogu iskoristiti ili podmiriti samo po isteku. Međutim, američke opcije mogu se iskoristiti prije isteka. Uz to, također pretpostavlja da dionice ne isplaćuju dividende. I da su i stopa bez rizika i nestalnost konstantni. Što u stvarnosti nije slučaj, jer mnoge dionice isplaćuju dividende. Na kraju, volatilnost i stope bez rizika mijenjaju se s vremenom, pa ni ta pretpostavka nije istinita.
Matematički model