Ravnotežni modeli kamatnih stopa su modeli ravnoteže koji se temelje na Brownovom geometrijskom procesu i na rizičnoj neutralnosti kratkoročnih kamatnih stopa.
Drugim riječima, ravnotežni modeli kamatnih stopa koriste kraće kamatne stope za izračunavanje budućih kamatnih stopa uzimajući u obzir vremensku strukturu kamatnih stopa.
Kao referencu za kratkoročne kamatne stope koristit ćemo kamatne stope obveznice bez kupona. Primjer bi bili španjolski trezorski zapisi izdani u kratkom roku.
Preporučene stavke: obveznica bez kupona, opcija i srednja reverzija.
Vremenska struktura cijena obveznica bez kupona dobiva se iz Brownova geometrijskog procesa koji bilježi beskrajno male promjene kratkoročnih kamatnih stopa.
Cijene obveznica bez kupona koriste se za vrednovanje cijene opcija bez kuponskih obveznica i opcija kuponskih obveznica.
Dakle, za izračun budućih cijena obveznica s nula-kuponima potrebne su nam kratkoročne kamatne stope s nula-kuponima. Na taj način također možemo izgraditi krivulju ili vremensku strukturu kamatnih stopa bez kupona. Jednom kad imamo krivulju, možemo odrediti razvoj dugoročnih kamatnih stopa s obzirom na kratkoročne kamatne stope.
Struktura rokova ili krivulja kamatnih stopa obveznica s nula kupona izračunatih iz Vasicek modela:
Pretpostavke modela ravnoteže o kamatnim stopama
Pretpostavke modela su:
- Neutralnost rizika.
Neutralni rizik pretpostavljamo kao klasičnu pretpostavku za procjenu imovine na financijskim tržištima. Ova je pretpostavka ključna za dobivanje cijene obveznice pomoću Monte Carlo simulacije.
- Log-normalna raspodjela obveznica i kamatnih stopa.
Pretpostavljamo log-normalnu raspodjelu jer kamatne stope postavljamo kao pozitivnu varijablu poput cijena obveznica. Ne bi imalo smisla procjenjivati obveznice s negativnom cijenom. Pod pretpostavkom log-normalne raspodjele kamatnih stopa možemo reći da će kamatne stope slijediti Brownov geometrijski proces. Da je raspodjela kamatnih stopa normalna raspodjela, tada bismo rekli da kamatne stope slijede Brownov aritmetički postupak.
Modeli ravnoteže s jednim faktorom
Jednofaktorski ravnotežni modeli modeli su za izračunavanje ročne strukture kamatnih stopa iz kratkoročnih kamatnih stopa.
Kažemo za jedan faktor, jer rizik ili nesigurnost daje jedan faktor: volatilnost kamatnih stopa. Postoje dvofaktorski modeli ravnoteže koji pružaju više mogućnosti u kretanju kamatnih stopa.
Matematički definiramo jednofaktorski model ravnoteže oblika:
Gdje,
- r (t): kratkoročne kamatne stope u trenutku t.
- dr: promjena kamatnih stopa (r) tijekom vremena (dt).
- dt: protok vremena = evolucija vremena.
- m (r) dt: smjer ili trend (m) uzet po kamatnim stopama (r) tijekom vremena (dt).
- s (r): standardno odstupanje kamatnih stopa (r).
- dZ: slučajna komponenta ili poremećaj koji slijedi normalnu raspodjelu sa srednjom vrijednosti 0 i varijancom 1.
Gornji izraz poznat je pod nazivom a stohastička diferencijalna jednadžba izraženo kroz Itôov postupak.
Vrste modela
Najčešći jednofaktorski ravnotežni modeli su:
- Rendlemanov i Bartterov model.
- Model Vasicek.
- Cox, Ingresoll i Ross model.