Linearna transformacija matrica
Linearna transformacija matrica linearne su operacije kroz matrice koje modificiraju početnu dimenziju zadanog vektora.
Drugim riječima, dimenziju vektora možemo izmijeniti množenjem bilo koje matrice.
Linearne transformacije osnova su vektora i vlastitih vrijednosti matrice jer linearno ovise jedna o drugoj.
Preporučeni članci: operacije s matricama, vektorima i vlastitim vrijednostima.
Matematički
Definiramo matricuC bilo koja dimenzija 3 × 2 pomnožena s vektorom V dimenzijen = 2 takav da je V = (v1, v2).
Koje će dimenzije biti vektor rezultata?
Vektor koji je rezultat umnoška matriceC3×2s vektoromV2×1bit će novi V 'vektor dimenzije 3.
Ova promjena dimenzije vektora posljedica je linearne transformacije kroz matricu C.
Praktični primjer
S obzirom na kvadratnu matricuR s dimenzijom 2 × 2 i vektoromV dimenzije 2.
Linearna transformacija dimenzije vektoraV to je:
gdje je početna dimenzija vektora V je bila 2 × 1 i sada konačna dimenzija vektora Vidiš3 × 1. Ova promjena u dimenziji postiže se množenjem matrice R.
Mogu li se te linearne transformacije predstaviti grafički? Pa naravno!
Predstavljat ćemo vektor rezultata V 'u ravnini.
Zatim:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafički
Vlastiti vektori pomoću grafičkog prikaza
Kako možemo odrediti da je vektor svojstveni vektor zadane matrice samo gledajući graf?
Definiramo matricuD dimenzije 2 × 2:
Jesu li vektori v1= (1,0) i v2= (2,4) vlastitih vektora matrice D?
Postupak
1. Krenimo od prvog vektora v1. Radimo prethodnu linearnu transformaciju:
Pa ako je vektor v1 je svojstveni vektor matrice D, rezultantni vektor v1'I vektor v1trebali bi pripadati istoj liniji.
Zastupamo v1 = (1,0) i v1’ = (3,0).
Budući da su obojica v1kao V1’Pripadaju istoj liniji, v1 je svojstveni vektor matrice D.
Matematički postoji konstantah(vlastita vrijednost) takav da:
2. Nastavljamo s drugim vektorom v2. Ponavljamo prethodnu linearnu transformaciju:
Pa ako je vektor v2 je svojstveni vektor matrice D, rezultantni vektor v2'I vektor v2 trebali bi pripadati istoj liniji (kao i gornji grafikon).
Zastupamo v2 = (2,4) i v2’ = (2,24).
Budući da je v2 i V2’Ne pripadaju istoj liniji, v2 nije svojstveni vektor matrice D.
Matematički, nema konstanteh(vlastita vrijednost) takav da:
