Linearna transformacija matrica linearne su operacije kroz matrice koje modificiraju početnu dimenziju zadanog vektora.
Drugim riječima, dimenziju vektora možemo izmijeniti množenjem bilo koje matrice.
Linearne transformacije osnova su vektora i vlastitih vrijednosti matrice jer linearno ovise jedna o drugoj.
Preporučeni članci: operacije s matricama, vektorima i vlastitim vrijednostima.
Matematički
Definiramo matricuC bilo koja dimenzija 3 × 2 pomnožena s vektorom V dimenzijen = 2 takav da je V = (v1, v2).
Koje će dimenzije biti vektor rezultata?
Vektor koji je rezultat umnoška matriceC3×2s vektoromV2×1bit će novi V 'vektor dimenzije 3.
Ova promjena dimenzije vektora posljedica je linearne transformacije kroz matricu C.
Praktični primjer
S obzirom na kvadratnu matricuR s dimenzijom 2 × 2 i vektoromV dimenzije 2.
Linearna transformacija dimenzije vektoraV to je:
gdje je početna dimenzija vektora V je bila 2 × 1 i sada konačna dimenzija vektora Vidiš3 × 1. Ova promjena u dimenziji postiže se množenjem matrice R.
Mogu li se te linearne transformacije predstaviti grafički? Pa naravno!
Predstavljat ćemo vektor rezultata V 'u ravnini.
Zatim:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafički
Vlastiti vektori pomoću grafičkog prikaza
Kako možemo odrediti da je vektor svojstveni vektor zadane matrice samo gledajući graf?
Definiramo matricuD dimenzije 2 × 2:
Jesu li vektori v1= (1,0) i v2= (2,4) vlastitih vektora matrice D?
Postupak
1. Krenimo od prvog vektora v1. Radimo prethodnu linearnu transformaciju:
Pa ako je vektor v1 je svojstveni vektor matrice D, rezultantni vektor v1'I vektor v1trebali bi pripadati istoj liniji.
Zastupamo v1 = (1,0) i v1’ = (3,0).
Budući da su obojica v1kao V1’Pripadaju istoj liniji, v1 je svojstveni vektor matrice D.
Matematički postoji konstantah(vlastita vrijednost) takav da:
2. Nastavljamo s drugim vektorom v2. Ponavljamo prethodnu linearnu transformaciju:
Pa ako je vektor v2 je svojstveni vektor matrice D, rezultantni vektor v2'I vektor v2 trebali bi pripadati istoj liniji (kao i gornji grafikon).
Zastupamo v2 = (2,4) i v2’ = (2,24).
Budući da je v2 i V2’Ne pripadaju istoj liniji, v2 nije svojstveni vektor matrice D.
Matematički, nema konstanteh(vlastita vrijednost) takav da:
