Matrični kvadratni oblik - što je to, definicija i pojam

Matrični kvadratni oblik proizvod je umnožavanja vektora reda n s bilo kojom kvadratnom matricom transponiranim vektorom reda n.

Drugim riječima, kvadratni oblik matrice linearna je kombinacija kvadratne matrice, vektora reda n i transponiranja tog vektora.

Preporučeni članak: operacije s matricama.

Formula kvadratnog oblika matrice

S obzirom na kvadratnu matricu Z reda n i vektora h n dimenzija, možemo zapisati izraz koji se naziva kvadratni oblik oblika:

Rezultat kvadratnog oblika uvijek će biti skalar, to jest jedan broj, a ne matrica.

Prijave

Matrični kvadratni oblik koristi se za pronalaženje stupnja pozitivnosti i negativnosti definiranih matrica. Ovisno o vrijednostima vektora h, vrijednost kvadratnog oblika bit će nula (0), pozitivna ili negativna.

Jednom kada smo dobili kvadratni oblik možemo reći da smo "definirali" matricu. Dakle, možemo govoriti o određenoj matrici. Ova matrica može biti pozitivno određena, pozitivna poluodređena, negativno određena i negativna poluodređena.

Praktični primjer

Pronalaženje kvadratnog oblika kvadratne matrice Z s obzirom na vektor h:

Postupak

Prvo transponiramo vektor h.

Tada primjenjujemo formulu kvadratnog oblika.

Kao što smo već rekli, rezultat kvadratnog oblika uvijek će biti jedan broj. U ovom slučaju to je strogo pozitivan broj.

Ali … Kako može biti da je rezultat konkretan broj, a ne matrica ako množimo matrice?

Do smanjenja dimenzije matrice dolazi od množenja jer množimo matrice koje dijele isti broj stupaca i redaka.

Demonstracija:

Iz matričnog proizvoda Z a od transponiranog vektora h ostaje vektor dimenzije 3 × 1. Na isti način, umnožak vektora rezultata i vektora h ostaje matrica dimenzije 1 × 1. Matrica dimenzije 1 × 1 je skalar.

Dakle, ako izračunamo kvadratni oblik matrice i dobijemo matricu dimenzije veće od 1 × 1 (dobijemo drugi rezultat osim određenog broja), to će značiti da smo u nekom koraku pogriješili i da je rezultat je pogrešan.