Matrični kvadratni oblik proizvod je umnožavanja vektora reda n s bilo kojom kvadratnom matricom transponiranim vektorom reda n.
Drugim riječima, kvadratni oblik matrice linearna je kombinacija kvadratne matrice, vektora reda n i transponiranja tog vektora.
Preporučeni članak: operacije s matricama.
Formula kvadratnog oblika matrice
S obzirom na kvadratnu matricu Z reda n i vektora h n dimenzija, možemo zapisati izraz koji se naziva kvadratni oblik oblika:
Rezultat kvadratnog oblika uvijek će biti skalar, to jest jedan broj, a ne matrica.
Prijave
Matrični kvadratni oblik koristi se za pronalaženje stupnja pozitivnosti i negativnosti definiranih matrica. Ovisno o vrijednostima vektora h, vrijednost kvadratnog oblika bit će nula (0), pozitivna ili negativna.
Jednom kada smo dobili kvadratni oblik možemo reći da smo "definirali" matricu. Dakle, možemo govoriti o određenoj matrici. Ova matrica može biti pozitivno određena, pozitivna poluodređena, negativno određena i negativna poluodređena.
Praktični primjer
Pronalaženje kvadratnog oblika kvadratne matrice Z s obzirom na vektor h:
Postupak
Prvo transponiramo vektor h.
Tada primjenjujemo formulu kvadratnog oblika.
Kao što smo već rekli, rezultat kvadratnog oblika uvijek će biti jedan broj. U ovom slučaju to je strogo pozitivan broj.
Ali … Kako može biti da je rezultat konkretan broj, a ne matrica ako množimo matrice?
Do smanjenja dimenzije matrice dolazi od množenja jer množimo matrice koje dijele isti broj stupaca i redaka.
Demonstracija:
Iz matričnog proizvoda Z a od transponiranog vektora h ostaje vektor dimenzije 3 × 1. Na isti način, umnožak vektora rezultata i vektora h ostaje matrica dimenzije 1 × 1. Matrica dimenzije 1 × 1 je skalar.
Dakle, ako izračunamo kvadratni oblik matrice i dobijemo matricu dimenzije veće od 1 × 1 (dobijemo drugi rezultat osim određenog broja), to će značiti da smo u nekom koraku pogriješili i da je rezultat je pogrešan.