Inverzna matrica je linearna transformacija matrice množenjem inverzne odrednice matrice s pridruženom transponiranom matricom.
Drugim riječima, inverzna matrica je množenje inverzne odrednice transponiranom pridruženom matricom.
Preporučeni članci: odrednica matrice, kvadratna matrica, glavna dijagonala i operacije s matricama.
S obzirom na bilo koju matricu X takvu da
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Tada će biti inverzna matrica X
Pomoću ove formule dobivamo inverznu matricu kvadratne matrice reda 2.
Gornja se formula također može izraziti odrednicom matrice.
Formula inverzne matrice matrice reda 2
Dvije paralelne crte oko X u nazivniku ukazuju da je on odrednica matrice X.
Kad kvadratna matrica ima inverznu matricu, kažemo da je to regularna matrica.
Zahtjevi
Da bismo pronašli inverznu matricu matrice reda n moramo ispuniti sljedeće zahtjeve:
- Matrica mora biti kvadratna matrica.
Broj redaka (n) mora biti jednak broju stupaca (m). Odnosno, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.
- Odrednica mora biti nula (0).
Odrednica matrice ne smije biti nula (0) jer u formuli sudjeluje kao nazivnik. Da je nazivnik nula (0), imali bismo neodređenost.
Ako je nazivnik (ad - bc) = 0, odnosno odrednica matrice X jednaka nuli (0), tada matrica X nema inverznu matricu.
Vlasništvo
Kvadratna matrica X reda n imat će inverznu matricu X reda n, X-1, takav da to ispunjava
Redoslijed elemenata množenja nije relevantan, odnosno množenje bilo koje kvadratne matrice njezinom inverznom matricom uvijek će rezultirati matricom identiteta istog reda.
U ovom slučaju, redoslijed matrice X je 2. Dakle, možemo prepisati prethodno svojstvo kao:
Praktični primjer
Naći inverznu matricu matrice V.
Da bismo riješili ovaj primjer, možemo primijeniti formulu ili prvo izračunati odrednicu, a zatim je zamijeniti.
Formula
Formula s odrednicom
Prvo izračunamo odrednicu matrice V, a zatim je zamjenjujemo u formuli.
Dakle, dobivamo da se odrednica matrice V razlikuje od nule (0) i možemo reći da matrica V ima inverznu matricu.
Isti rezultat dobivamo koristeći formulu ili prvo izračunavajući odrednicu, a zatim je zamjenjujući.
Redoslijed inverzne matrice jednak je redoslijedu izvorne matrice. U ovom slučaju imat ćemo jednak broj redaka n i stupaca m u obje matrice V i V-1.
Transponirana matrica