Svojstva očekivanih vrijednosti

Očekivana vrijednost slučajne varijable koncept je analogan matematičkoj algebri koji promišlja aritmetičku sredinu skupa promatranja spomenute varijable.

Drugim riječima, očekivana vrijednost slučajne varijable vrijednost je koja se najčešće pojavljuje tijekom ponavljanja eksperimenta više puta.

Svojstva očekivanih vrijednosti slučajne varijable

Očekivana vrijednost slučajne varijable ima tri svojstva koja ćemo razviti u nastavku:

Svojstvo 1

Za bilo koju konstantu g, očekivana vrijednost ove konstante izrazit će se kao E (g) i bit će ista konstanta g. Matematički:

E (g) = g

Budući da je g konstanta, odnosno da ne ovisi o niti jednoj varijabli, njezina će vrijednost ostati ista.

Primjer

Kolika je očekivana vrijednost 1? Drugim riječima, koju vrijednost pripisujemo broju 1?

E (1) =?

Točno, broju 1 dodjeljujemo vrijednost 1 i njegova se vrijednost neće mijenjati bez obzira na to koliko godina prolaze ili se događaju prirodne katastrofe. Dakle, imamo posla s konstantnom varijablom i stoga:

E (1) = 1 ili E (g) = g

Mogu isprobati i druge brojeve.

Svojstvo 2

Za bilo koje konstante h i k, očekivana vrijednost linije h · X + k bit će jednaka konstanti h pomnoženoj s očekivanjem slučajne varijable X plus konstante k. Matematički:

E (h X + k) = h E (X) + k

Pažljivo pogledajte, ne podsjeća li vas na vrlo poznati strejt? Točno, linija regresije.

Ako zamijenimo:

E (hX + k) = Y

E (X) = X

k = B₀

h = B₁

Imati:

Y = B₀ + B₁x

Kada se procijene koeficijenti B₀ , B₁ , odnosno B₀ , B₁ , oni ostaju isti za cijeli uzorak. Dakle, primjenjujemo svojstvo 1:

E (B₀) = B₀

E (B₁) = B₁

Ovdje također nalazimo svojstvo nepristranosti, odnosno očekivana vrijednost procjenitelja jednaka je vrijednosti njegove populacije.

Vraćajući se na E (h · X + k) = h · E (X) + k, važno je imati na umu da je Y E (h · X + k) prilikom donošenja zaključaka iz linija regresije. Drugim riječima, moglo bi se reći da kada se X poveća za jedan, Y povećava za pola h jedinica, jer je Y očekivana vrijednost linije h · X + k.

Svojstvo 3

Ako je H vektor konstanti, a X vektor slučajnih varijabli, tada se očekivana vrijednost može izraziti kao zbroj očekivanih vrijednosti.

H = (h₁ , h_2, , …, h_n)

X = (X₁ , X_2, ,…, X_n)

Hej₁x₁ + h₂x₂ +… + H_nx_n) = h₁·PRIJAŠNJI₁) + h₂·PRIJAŠNJI₂) +… + H_n·PRIJAŠNJI_n)

Izraženo suma:

Ovo je svojstvo vrlo korisno za izvode u polju matematičke statistike.