Najveći zajednički djelitelj i najmanje zajednički višestruki
Najveći zajednički djelitelj (GCF) i najmanji zajednički višekratnik (LCM) dvije su vrijednosti koje se mogu izračunati iz djelitelja dva ili više brojeva.
Iako se oba izračunavaju iz istih podataka, GCF i LCM tumače se vrlo različito.
Kao prvo, GCF je najveći broj kojim se mogu podijeliti dva ili više brojeva. Ovo, bez ostavljanja ostataka.
Umjesto toga, LCM je najmanja figura koja zadovoljava uvjet da je višestruk svih elemenata skupa brojeva.
Treba imati na umu da je broj višekratnik drugog kad ga sadrži točno n puta. Odnosno broj b je višekratnik od do kada b=do*s, biće s cijeli broj.
Da bismo bolje razumjeli razliku, možemo se poslužiti primjerom sa sljedećim brojevima: 450, 765 i 135.
Prvo, svaku figuru raščlanjujemo na djelitelje. To su oni brojevi u kojima je sadržan u točno točno toliko puta n puta.
450= (3^2)*(5^2)*2
765= (3^2)*5*17
135= (3^3)*5
Dakle, za izračunavanje GCF-a uzeli bismo zajedničke djelitelje do njihove najniže snage:
GCF = (3 2) * 5 = 45
Isto tako, za lcm uzeli bismo sve razdjelnike, čak i one koji se ne ponavljaju, podižući ih na svoju maksimalnu snagu:
lcm = (3 3) * (5 2) * 2 * 17 = 22.950
Odnos između GCF i LCM
Kad imate dva broja, vrijedi sljedeća formula:
Odnosno za 4.368 i 308
4.368= (2^4)*13*7*3
308= (2^2)*11*7
Dakle, lcm bi bio: (2 2) * 7 = 28
Stoga bi se GCF mogao riješiti formulom:
GCD = 4,368 * 308/28 = 48,048
Neka svojstva
Neka svojstva koja treba uzeti u obzir su i:
- Ako imamo dva prosta broja (koja mogu podijeliti samo oni sami i jedan da bismo dobili cijeli broj) LCM je zbroj njihova množenja. Isto tako, njegov je najveći zajednički faktor 1. Na primjer, ako imamo 11 i 103, LCM mu je 1133, a GCF 1.
- Najveći zajednički djelitelj dva ili više brojeva je djelitelj najmanje zajedničkog višekratnika takvih brojeva. To je zato što se izračun vrši na temelju istih čimbenika. Na primjer, ako imamo 132, 336 i 1.314
132= (2^2)*3*11
336= (2^4)*3*7
1.314= (3^2)*73*2
Zatim,
GCF = 3 * 2 = 6
lcm = (2 4) * (3 2) * 7 * 11 * 73 = 809.424
I potvrđujemo da je LCM višekratnik GCF: 809.424 / 6 = 134.904
