Paradoks u Sankt Peterburgu paradoks je koji je uočio Nicolaus Bernoulli i koji svoj razlog ima u kockanju. Ovaj paradoks nam govori da su, u teoriji odluke, prihvaćene sve oklade, bez obzira na njihovu vrijednost, čak i ako nam navedena vrijednost pokazuje da to nije racionalna odluka.
Peterburški paradoks, da bismo ga pravilno shvatili, bio je paradoks koji je opisao Nicolaus Bernoulli, nakon promatranja kockanja, zbog čega taj paradoks i postoji.
Teorija igaraU tom smislu, paradoks nam govori da nam teorija formuliranih odluka pokazuje da je racionalna odluka u igri klađenja sve, bez obzira na iznos koji svaka oklada pretpostavlja. Međutim, ispravno analizirajući ovu situaciju i precizno se baveći teorijom, uočavamo da nijedno racionalno biće ne bi odlučilo donijeti odluku da se kladi na količinu novca blizu beskonačnosti, iako teorija ukazuje na to da je racionalna. Iz tog razloga nastaje paradoks.
U početku paradoks uočava Nicolaus Bernoulli, kako se čini u pismu koje je 9. rujna 1713. poslao Pierreu de Montmort-u, francuskom aristokratu i matematičaru.
Međutim, budući da Nicolausova studija nije dala rezultate, predstavio je paradoks svom rođaku Danielu Bernoulliju 1715. godine, matematičaru nizozemskog podrijetla i rektoru Sveučilišta u Baselu, koji je na sastanku u Sankt Peterburgu s istaknutom skupinom znanstvenika, a nakon godine istraživanja, objavio je 1738. novi mjerni sustav u svom radu „Izlaganje nove teorije u mjerenju rizika“.
Model koji je predložio Daniel, za razliku od onog koji je predložio Nicolaus, postavlja temelje onoga što će kasnije usavršiti i upotpuniti teoriju očekivane korisnosti.
Formula paradoksa iz Sankt Peterburga
Formulacija koju je Nicolaus Bernoulli predložio svom rođaku i Pierreu de Montmortu je sljedeća:
Zamislimo kockarsku igru u kojoj igrač, očito, mora platiti iznos za sudjelovanje.
Pretpostavimo da se igrač kladi na repove i ubacuje novčić sukcesivno do kraja. Nakon repova, igra se zaustavlja i igrač dobiva $ 2 n.
Dakle, ako je rep, igrač prvo osvaja 2 1, što je 2 dolara. Ali ako se repovi ponovo jave, dobit će 2 2, što je 4 dolara, i tako dalje. Ako se opet pojavi, bit će 8 dolara, što je ekvivalent 2 3; dok će, ako izađe četvrti put, nagrada biti 16 dolara, što predstavlja predstavljanje 2 4.
Dakle, Nicolausovo pitanje bilo je sljedeće: Uzimajući u obzir gore spomenuti slijed i dobit, koliko bi igrač bio spreman platiti za ovu igru bez gubitka racionalnosti?
Primjer paradoksa iz Sankt Peterburga
Uzimajući u obzir formulaciju koju je predložio Nicolaus i sumnju koju je postavio francuskom matematičaru i njegovom rođaku, uvidimo razlog ovog paradoksa da, na primjeru, shvatimo na što mislimo.
Prije svega, moramo znati da, prije nego što utakmica započne, imamo beskonačan broj mogućih ishoda. Pa, čak i ako je vjerojatnost 1/2, repovi možda neće izaći prije 8. bacanja.
Stoga je vjerojatnost da se ovaj križ pojavi na bacanju k:
Pk = 1 / 2k
Također, dobit je 2k.
Nastavljajući s razvojem, prvi repovi na 1. kolu stvaraju dobitak od 21 ($ 2) i vjerojatnost od 1/2. Repovi u 2. pokušaju imaju dobitak od 22 (4 dolara) i vjerojatnost od 1/22; dok, ako zaostaje u trećem pokušaju, igrač ima pobjedu od 23 (8 dolara) i vjerojatnost od 1/23. Kao što vidimo, odnos koji se proteže, sve dok dodajemo trčanja.
Prije nastavka, valja napomenuti da u teoriji odlučivanja matematičkim očekivanjem (EM) ili očekivanom pobjedom u igri nazivamo zbroj nagrada povezanih sa svakim mogućim rezultatima igre i sve ponderirane vjerojatnost da će se dogoditi svaki od ovih ishoda.
Ako uzmemo u obzir pristup koji pokazuje ovaj paradoks, vidimo da je prilikom igranja vjerojatnost dobitka 2 dolara 1/2, ali, uz to, vjerojatnost dobitka 4 iznosi 1/4, dok je vjerojatnost dobitka 8 dolara 1/8. To je, sve dok se ne dosegnu situacije poput dobitka od 64 dolara, vjerojatnost za ovaj slučaj je 1/64.
Dakle, ovim rezultatima, ako izračunamo matematičko očekivanje ili ono što znamo kao očekivanu pobjedu u igri, moramo dodati dobitak svih mogućih ishoda ponderiranih vjerojatnošću njihovog nastanka, tako da nam rezultat pokazuje beskonačnost vrijednost.
Ako slijedimo teoriju izbora, ona nam govori da bismo se trebali kladiti u bilo koji iznos zbog jednostavne činjenice da je svaka odluka za nas povoljna. Činjenica da je to paradoks je zato što se, racionalno, igrač neće kladiti u nedogled, čak i ako ga teorija na to tjera.
Istaknuti paradoks
Mnogi su matematičari pokušali odgonetnuti paradoks koji je predložio Bernoulli, međutim, postoje i mnogi koji ga nisu uspjeli riješiti.
Dakle, postoje brojni primjeri koji nam pokazuju kako su paradoks pokušali riješiti matematičari koji su se bavili i strukturom igre i odlukama samih pojedinaca. Međutim, do danas još uvijek ne možemo pronaći valjano rješenje.
I to je da, da bismo dobili ideju o složenosti ovog paradoksa, uzimajući u obzir teoriju izbora u ovom primjeru, pretpostavljamo kao moguću nagradu, nakon izračuna, beskonačan broj kovanica koje, čak i pod pretpostavkom da je to bilo moguće, to bi bilo nespojivo sa samim monetarnim sustavom, budući da je to novac koji je, suprotno onome što paradoks kaže, ograničen.
