Modul vektora i Pitagorin teorem

Modul vektora je duljina segmenta orijentiranog u prostoru koji je određen s dvije točke i njihovim redoslijedom.

Drugim riječima, modul vektora je duljina između početka i kraja vektora, odnosno tamo gdje strelica počinje i gdje završava.

S obzirom na bilo koji dvodimenzionalni vektor:

Podaci koje nam daju koordinate vektora, a to su vx i vy, su njegova duljina za os x, odnosno dužina za osu y.

Dakle, ako znamo koordinate, možemo izračunati modul vektora.

Modul vektora i Pitagorin teorem

Ne podsjeća li vas prethodni crtež na geometrijsku figuru?

Točno, možemo zamisliti da koordinatne osi pored vektora čine pravokutnik s bazom vx i visinom vy. Ovaj pravokutnik možemo podijeliti u dva simetrična trokuta, odnosno oba će imati istu bazu i visinu.

Plavo zasjenjeni trokut ima osnovu vx i visinu vy. Dakle, znajući ove informacije možemo znati njihovu hipotenuzu. Postoji vrlo poznati teorem poznat kao Pitagorin teorem koji se koristi za ove izračune.

Demonstracija

Znamo da je pitagorejska formula sljedeća:

Gdje je h hipotenuza, c je jedna noga, a c druga noga.

U našem slučaju znamo koliko vrijede naše noge, drugim riječima, baza i visina. Dakle, te podatke možemo uključiti u jednadžbu:

Nastavljamo uklanjati kvadrat h primjenom kvadratnog korijena:

Ako kažemo da je vx = 3 i vy = 6:

Stoga, da je v vektor s koordinatama (3,6), tada bismo znali da je njegov modul 6,7082. Točno, njegov modul, jer je formula za modul bilo kojeg vektora v:

Vidimo da se upravo podaci koji nam nedostaju u jednadžbi podudaraju s hipotenuzom. Drugim riječima, duljina vektora je ono što želimo izračunati, a hipotenuza je dijagonala trokuta. Stoga možemo zaključiti da je upotreba Pitagorinog teorema za izračunavanje modula vektora valjana metoda.

Dakle, ako trebamo izračunati modul vektora i ne sjetimo se formule, možemo razmišljati o Pitagorinom teoremu i riješiti problem.

Vježba riješena

Izračunajte modul vektora v s koordinatama (-3, -6) primjenjujući Pitagorin teorem.

Modul vektora v s koordinatama (-3,6) izračunat iz formule Pitagorinog teorema također je 6,7082.