Simetrična matrica - što je to, definicija i pojam

Simetrična matrica je matrica reda n s istim brojem redaka i stupaca gdje je njena transponirana matrica jednaka izvornoj matrici.

Drugim riječima, simetrična matrica je kvadratna matrica i identična je matrici nakon što su redove zamijenili za stupce, a stupce za retke.

Zahtjevi

Da bi bilo koja matrica bila simetrična matrica, ona mora udovoljavati sljedećim ograničenjima:

S obzirom na simetričnu matricu Str reda n,

• Biti kvadratna matrica.

Broj redaka (n) mora biti jednak broju stupaca (m). Odnosno, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.

• Izvorna matrica mora biti jednaka svojoj transponirana matrica.

Demonstracija:

Svojstva

• Pridružena matrica simetrične matrice također je simetrična matrica.

Demonstracija:

• Zbrajanje ili oduzimanje dvije simetrične matrice rezultira drugom simetričnom matricom.

Demonstracija:

Dane su dvije simetrične matrice Str Y T reda 3, dobivamo drugu simetričnu matricu S od zbroja.

Zašto se naziva simetrična matrica?

Svojstvo simetrije daju elementi oko glavne dijagonale. Budući da je kvadratna matrica simetrična matrica, uvijek će imati jednak broj elemenata iznad i ispod glavne dijagonale. Ti su elementi simetrično isti. Odnosno, glavna dijagonala djeluje poput zrcala.

Dokaz simetrije i iskrivljenosti matrice

Simetrična matrica

Pismo d predstavlja elemente glavne dijagonale. Ostala slova predstavljaju bilo koji stvarni broj. Možemo vidjeti da glavna dijagonala djeluje poput zrcala: odražava elemente s obje strane. Drugim riječima, kada su elementi s obje strane dijagonale simetrično jednaki, kažemo da je matrica Str je simetrična matrica.

Nesimetrična matrica

Matrica x To nije simetrična matrica jer nije kvadratna matrica i njena transponirana matrica razlikuje se od izvorne matrice. Uz to, nema ni glavnu dijagonalu.