Simetrična matrica je matrica reda n s istim brojem redaka i stupaca gdje je njena transponirana matrica jednaka izvornoj matrici.
Drugim riječima, simetrična matrica je kvadratna matrica i identična je matrici nakon što su redove zamijenili za stupce, a stupce za retke.
Zahtjevi
Da bi bilo koja matrica bila simetrična matrica, ona mora udovoljavati sljedećim ograničenjima:
S obzirom na simetričnu matricu Str reda n,
- Biti kvadratna matrica.
Broj redaka (n) mora biti jednak broju stupaca (m). Odnosno, redoslijed matrice mora biti n s obzirom da je n = m.
- Izvorna matrica mora biti jednaka svojoj transponirana matrica.
Demonstracija:
Svojstva
- Pridružena matrica simetrične matrice također je simetrična matrica.
Demonstracija:
- Zbrajanje ili oduzimanje dvije simetrične matrice rezultira drugom simetričnom matricom.
Demonstracija:
Dane su dvije simetrične matrice Str Y T reda 3, dobivamo drugu simetričnu matricu S od zbroja.
Zašto se naziva simetrična matrica?
Svojstvo simetrije daju elementi oko glavne dijagonale. Budući da je kvadratna matrica simetrična matrica, uvijek će imati jednak broj elemenata iznad i ispod glavne dijagonale. Ti su elementi simetrično isti. Odnosno, glavna dijagonala djeluje poput zrcala.
Dokaz simetrije i iskrivljenosti matrice
Simetrična matrica
Pismo d predstavlja elemente glavne dijagonale. Ostala slova predstavljaju bilo koji stvarni broj. Možemo vidjeti da glavna dijagonala djeluje poput zrcala: odražava elemente s obje strane. Drugim riječima, kada su elementi s obje strane dijagonale simetrično jednaki, kažemo da je matrica Str je simetrična matrica.
Nesimetrična matrica
Matrica x To nije simetrična matrica jer nije kvadratna matrica i njena transponirana matrica razlikuje se od izvorne matrice. Uz to, nema ni glavnu dijagonalu.
Matrica identiteta