Točka pregiba - što je to, definicija i pojam

Točka pregiba matematičke funkcije je ona točka u kojoj graf koji je predstavlja mijenja svoju udubljenost. Odnosno, ide od udubljenja do ispupčenja ili obrnuto.

Točka pregiba, drugim riječima, je trenutak kada funkcija mijenja trend.

Da bismo dobili ideju, krenimo otprilike gledajući je u grafičkom prikazu:

Treba napomenuti da funkcija može imati više od jedne točke pregiba ili uopće ne mora imati. Na primjer, linija nema točku previjanja.

Pogledajmo, na sljedećem grafikonu, primjer funkcije s više od jedne točke pregiba:

Također, u matematičkom smislu, točka pregiba izračunava se postavljanjem drugog izvoda funkcije jednakog nuli. Dakle, rješavamo korijen (ili korijene) te jednadžbe i nazvat ćemo ga Xi.

Tada zamjenjujemo Xi u trećem izvodu funkcije. Ako se rezultat razlikuje od nule, suočeni smo s točkom pregiba.

Međutim, ako je rezultat nula, moramo zamijeniti uzastopne izvode, sve dok se vrijednost ovog izvoda, bilo da je to treći, četvrti ili peti, razlikuje od 0. Ako je izvod nepar, to je točka pregiba, ali ako je čak i ne.

Primjer prekretnice

Dalje, pogledajmo primjer.

Pretpostavimo da imamo sljedeću funkciju:

y = 2x⁴+ 5x³+ 9x + 14

y ’= 8x³+ 15x²+9

y »= 24x²+ 30x = 0

24x = -30

Xi = -1,25

Tada zamjenjujemo Xi u trećem izvodu:

y »’ = 48x

y »’ = 48x-1,25 = -60

Kako se rezultat razlikuje od nule, nalazimo se ispred točke prevoja koja bi bila kada je x jednako -1,25, a y jednako -2,1328, kao što je prikazano na sljedećem grafikonu.

U tome se uočava da funkcija ima točku pregiba:

Pogledajmo sada još jedan primjer:

y = x⁴-54x²

y ’= 4x³-108x

y »= 12x²-108=0

x²=9

Xi = 3 i -3

Zatim zamjenjujemo dva korijena iz treće izvedenice:

y »’ = 24x

y »’ = 24 × 3 = 72

y »’ = 24x-3 = -72

Budući da rezultat nije nula, imamo dvije točke previjanja na (3,567) i (-3,567).

Da biste upotpunili informacije, pozivamo vas da posjetite članak o pregibu, gdje ovaj koncept pokrivamo na općenitiji način: