Zakon velikih brojeva temeljni je teorem teorije vjerojatnosti koji ukazuje da ako ponovimo više puta (težeći do beskonačnosti) isti eksperiment, učestalost određenog događaja obično je konstanta.
Odnosno, zakon velikih brojeva ukazuje na to da će se ponavljanje određenog događaja ponavljati ako se isti test provodi više puta (na primjer bacanje novčića, bacanje ruleta itd.) gore glave ili pečata, broj 3 izlazi crno, itd.) približit će se konstanti. To će pak biti vjerojatnost da se dogodi ovaj događaj.
Porijeklo zakona velikih brojeva
Zakon velikih brojeva prvi je spomenuo matematičar Gerolamo Cardamo, iako bez ikakvih rigoroznih dokaza. Kasnije je Jacob Bernoulli uspio izvesti potpunu demonstraciju u svom djelu "Ars Conjectandi" 1713. godine. Matematik Siméon Denis Poisson 1830-ih detaljno je opisao zakon velikih brojeva koji je usavršio teoriju. Ostali autori također će dati kasnije doprinose.
Primjer zakona velikih brojeva
Pretpostavimo sljedeći eksperiment: kotrljajte uobičajenu matricu. Sada razmotrimo događaj kada smo dobili broj 1. Kao što znamo, vjerojatnost da će se pojaviti broj 1 je 1/6 (kocka ima 6 lica, jedno od njih je jedno).
Što nam govori zakon velikih brojeva? Kaže nam da će se, kako povećavamo broj ponavljanja našeg eksperimenta (izvodimo više bacanja kockice), učestalost ponavljanja događaja (dobivamo 1) približavati konstanti, koja će imati jednaku vrijednost do njegove vjerojatnosti (1/6 ili 16,66%).
Moguće je da u prvih 10 ili 20 pokretanja učestalost s kojom dobivamo 1 neće biti 16%, već drugi postotak poput 5% ili 30%. No kako radimo sve više i više tonova (recimo 10.000), učestalost da se pojavi 1 bit će vrlo blizu 16,66%.
Na sljedećoj slici vidimo primjer pravog eksperimenta u kojem se matrica više puta valja. Ovdje možemo vidjeti kako se mijenja relativna učestalost crtanja određenog broja.
Kao što ukazuje zakon velikih brojeva, u prvim lansiranjima frekvencija je nestabilna, ali kako povećavamo broj lansiranja, frekvencija se nastoji stabilizirati na određenom broju, što je vjerojatnost da se dogodi događaj (u ovom slučaju brojevi iz 1 do 6 jer je to bacanje kocke).
Pogrešno tumačenje zakona velikih brojeva
Mnogi ljudi pogrešno tumače zakon velikog broja vjerujući da će jedan događaj težiti nadmašivanju drugog. Tako, na primjer, oni vjeruju da bi, budući da bi vjerojatnost da će se broj 1 kotrljati na kocki trebao biti blizu 1/6, kada se broj 1 ne pojavi na prvih 2 ili 5 koluta, vrlo je vjerojatno da će u Sljedeći. To nije istina, jer se zakon velikih brojeva odnosi samo na mnoga ponavljanja, tako da možemo provesti cijeli dan valjajući kockicu i ne doseći frekvenciju 1/6.
Bacanje kockice neovisni je događaj, pa stoga, kada se pojavi određeni broj, ovaj rezultat ne utječe na sljedeći valjak. Tek nakon tisuća ponavljanja moći ćemo provjeriti postoji li zakon velikih brojeva i da li će relativna učestalost dobivanja broja (u našem primjeru 1) biti 1/6.
Pogrešno tumačenje teorije može dovesti do toga da ljudi (posebno kockari) gube novac i vrijeme.
Bayesov teoremVjerojatnost učestalostiTeorem o središnjoj granici