Svojstva procjenitelja su svojstva koja oni mogu imati i koja služe za odabir onih koji su sposobniji dati dobre rezultate.
Za početak ćemo definirati koncept procjenitelja, reći ćemo da je za bilo koji slučajni uzorak (x1, x2, x3,…, Xn) procjenitelj predstavlja populaciju koja ovisi o φ parametru koji mi ne znamo.
Ovaj parametar, koji označavamo grčkim slovom fi (φ), može biti, na primjer, sredina bilo koje slučajne varijable.
Matematički, jednoparametarski Q procjenitelj ovisi o slučajnim opažanjima u uzorku (x1, x2, x3,…, Xn) i poznata funkcija (h) uzorka. Procjenitelj (Q) bit će slučajna varijabla jer ovisi o uzorku koji sadrži slučajne varijable.
Q = h (x1, x2, x3,…, Xn)
Nepristranost procjenitelja
Q procjenitelj φ je nepristrani procjenitelj ako je E (Q) = φ za sve moguće vrijednosti φ. E (Q) definiramo kao očekivanu vrijednost ili očekivanje procjenitelja Q.
U slučaju pristranih procjenitelja, ta bi pristranost bila predstavljena kao:
Pristranost (Q) = E (Q) - φ
Možemo vidjeti da je pristranost razlika između očekivane vrijednosti procjenitelja, E (Q), i stvarne vrijednosti parametra populacije, φ.
Procjena bodovaUčinkovitost procjenitelja
Da Q1 i Q2 su dva nepristrana procjenitelja φ, njihov odnos s Q bit će učinkovit2 kada je Var (Q1) ≤ Var (Q2) za bilo koju vrijednost φ sve dok je statistički uzorak φ strogo veći od 1, n> 1. Gdje je Var varijanca, a n veličina uzorka.
Intuitivno rečeno, pod pretpostavkom da imamo dva procjenitelja s nepristranim svojstvom, možemo reći da jedan (Q1) je učinkovitiji od drugog (Q2) ako je varijabilnost rezultata jednog (Q1) je manji od onog kod drugog (Q2). Logično je misliti da je jedna stvar koja se razlikuje više od druge manje "precizna".
Stoga ovaj kriterij možemo koristiti za odabir procjenitelja samo kada su nepristrani. U prethodnoj izjavi kada definiramo učinkovitost već pretpostavljamo da procjenitelji moraju biti nepristrani.
Za usporedbu procjenitelja koji nisu nužno nepristrani, odnosno može postojati pristranost, preporučuje se izračunavanje srednje kvadratne pogreške (MSE) procjenitelja.
Ako je Q procjenitelj φ, tada se ECM Q definira kao:
Pogreška srednjeg kvadrata (MSE) izračunava prosječnu udaljenost koja postoji između očekivane vrijednosti procjenitelja uzorka Q i procjenitelja populacije. Kvadratni oblik ECM-a posljedica je činjenice da pogreške mogu biti zadane, negativne ili suvišno pozitivne s obzirom na očekivanu vrijednost. Na taj će način ECM uvijek izračunati pozitivne vrijednosti.
ECM ovisi o varijansi i pristranosti (ako postoje) omogućujući nam usporedbu dva procjenitelja kad su jedan ili oba pristrani. Podrazumijeva se da je onaj čiji je NDE veći manje precizan (ima više pogrešaka) i, prema tome, manje učinkovit.
Dosljednost procjenitelja
Konzistentnost je asimptotsko svojstvo. Ovo svojstvo sliči svojstvu učinkovitosti s tom razlikom što dosljednost mjeri vjerojatnu udaljenost između vrijednosti procjenitelja i stvarne vrijednosti parametra populacije kako se veličina uzorka neograničeno povećava. Ovo neodređeno povećanje veličine uzorka osnova je asimptotskog svojstva.
Postoji minimalna dimenzija uzorka za provođenje asimptotske analize (provjerite konzistentnost procjenitelja kako se uzorak povećava). Približne vrijednosti velikog uzorka dobro funkcioniraju za uzorke od oko 20 promatranja, (n = 20). Drugim riječima, želimo vidjeti kako se procjenitelj ponaša kad povećavamo uzorak, ali to povećanje teži beskonačnosti. S obzirom na to, radimo aproksimaciju i od 20 promatranja u uzorku (n ≥ 20), asimptotska analiza je prikladna.
Matematički definiramo Q1n kao procjenitelj φ iz bilo kojeg slučajnog uzorka (x1, x2, x3,…, Xn) veličine (n). Dakle, možemo reći da je Qn je dosljedan procjenitelj φ ako:
To nam govori da su razlike između procjenitelja i njegove populacijske vrijednosti, | Qn - φ |, oni moraju biti veći od nule. Zbog toga to izražavamo u apsolutnoj vrijednosti. Vjerojatnost ove razlike ima tendenciju do 0 (postaje sve manja i manja) kada veličina uzorka (n) teži ka beskonačnosti (postaje sve veći i veći).
Drugim riječima, sve je manje vjerojatno da Qn odmiče predaleko od φ kad se veličina uzorka poveća.