Bijeli test za heteroscedastičnost uključuje vraćanje kvadrata ostataka običnih najmanjih kvadrata (OLS) na ugrađene vrijednosti OLS i na kvadrate ugrađenih vrijednosti.
Generalizirajući, kvadratni ostaci OLS-a vraćaju se na objašnjene varijable. Whiteov glavni cilj je testirati oblike heteroscedastičnosti koji poništavaju standardne pogreške OLS-a i njihove odgovarajuće statistike.
Drugim riječima, White-ov test omogućuje nam provjeru prisutnosti heteroscedastičnosti (pogreška, u, uvjetovana objašnjavajućim varijablama, varira u populaciji). Ovaj test objedinjuje u jednoj jednadžbi kvadrate i križne produkte svih neovisnih varijabli regresije. S obzirom na Gauss-Markovljeve pretpostavke, usredotočujemo se na pretpostavku homoscedastičnosti:
Var (u | x1,…, Xk) = σ2
Primjer heteroskedastičnosti bio bi da u jednadžbi klimatskih promjena varira neprimijećeni čimbenici koji utječu na klimatske promjene (čimbenici koji su unutar pogreške i E (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 ) povećava se s emisijom CO2 (Var (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 ). Primjenjujući bijeli test testirali bismo je li Var (u | x1,…, Xk) ≠ σ2 (heteroscedastičnost) ili Var (u | x1,…, Xk) = σ2 (homoscedastičnost). U ovom bismo slučaju odbacili Var (u | x1,…, Xk) = σ2 jer se varijansa pogreške povećava s emisijom CO2 pa prema tome i σ2 nije stalan za cijelu populaciju.
Postupak
1. Polazimo od populacijske višestruke linearne regresije s k = 2. Definiramo (k) kao broj regresora.
Pretpostavljamo da je Gauss-Markov usklađen tako da je procjena OLS-a nepristrana i dosljedna. Posebno se fokusiramo na:
- E (u | x1,…, Xk) = 0
- Var (u | x1,…, Xk) = σ2
2. Nulta hipoteza temelji se na ispunjavanju homoscedastičnosti.
H0: Var (u | x1,…, Xk) = σ2
Za razliku od H0 (homoscedastičnost) se ispituje ako u2 povezano je s jednom ili više objašnjenih varijabli. Ekvivalentno tome, H0 može se izraziti kao:
H0 : E (u2 | x1,…, Xk) = E (u2 ) = σ2
3. Izrađujemo OLS procjenu na modelu 1, gdje je procjena û2 je kvadrat pogreške modela 1. Konstruiramo jednadžbu û2 :
- Nezavisne varijable (xja).
- Kvadrati neovisnih varijabli (xja2).
- Unakrsni proizvodi (xja xh ∀ i ≠ h).
- Zamjenjujemo B0 i Bk po δ0 i δk odnosno.
- Zamjenjujemo u za v
Kao rezultat:
ili2 = δ0 + δ1x1 + δ2x2 + δ3x12 + δ4x22 + δ5x1 x2 + v
Ova pogreška (v) ima nultu sredinu s neovisnim varijablama (xja ) .
4. Predlažemo hipoteze iz prethodne jednadžbe:
5. Koristimo F statistiku za izračunavanje zajedničke razine značajnosti (x1,…, Xk).
Podsjećamo kao (k) broj regresora u û2 .
6. Pravilo odbijanja:
- P-vrijednost <Fk, n-k-1 : odbacujemo H0 = odbacujemo prisutnost homoscedastičnosti.
- P-vrijednost> Fk, n-k-1 : nemamo dovoljno značajnih dokaza da odbijemo H0 = ne odbacujemo prisutnost homoscedastičnosti.