ARMA model je stacionarni autoregresivni model gdje neovisne varijable prate stohastičke trendove, a pojam pogreške je stacionaran.
Drugim riječima, ARMA model u svoju regresiju uključuje autokorelaciju i model pokretnog prosjeka.
Preporučeni članci: teorija slučajnog hoda, uvjetovana srednja vrijednost, autoregresija.
Značenje ARMA
ARMA model, s engleskog, Automatski regresivni pomični prosjek podijeljen je u dva dijela:
- Autoregresivno: Ovisna varijabla vraća se sebi u određenom vremenskom razdobljut.
- Pomični prosjek: Zastoji su predstavljeni slučajnim procesima.
AR model
Matematički
1. Polazimo od AR (p) autoregresivnog modela:
Gdje:
Drugim riječima, pojam pogreške slijedi stohastički proces (slučajna varijabla).
2. Uspostavljamo sljedeću jednakost:
4. Zamjenjujemo prethodnu jednakost u AR (p) i dobivamo:
4. Definiramo novi polinom koji ovisi o R:
Zatim,
Pomnožimo li novi polinom s Xt i prođemo sve parametre i regresore lijevo od jednakog, dobit ćemo početni AR (p).
Iz autoregresivnog modela ostala nam je zadnja jednadžba:
Ovo je doprinos autoregresivnog modela ARMA modelu.
Model pokretnog prosjeka
Model pokretnog prosjeka je autoregresija gdje su regresori izrazi pogrešaka svakog razdobljat.
Matematički
1. Polazimo od autoregresivnog modela AR (p) gdje su regresori izraz pogreške:
Poput autoregresivnog modela, pojam pogreške slijedi stohastički proces (slučajna varijabla) takav da:
Model pokretnog prosjeka uvijek je stacionaran, odnosno neovisne varijable (zaostali pojmovi pogrešaka) slučajne su varijable. Drugim riječima, izrazi pogrešaka iz prethodnog razdoblja neovisni su o trenutnim uvjetima pogreške i imaju istu (identičnu) raspodjelu vjerojatnosti sa srednjom vrijednosti 0 i uvjetnom varijancom.
2. Uspostavljamo sljedeću jednakost:
3. Zamjenjujemo prethodnu jednakost u AR (p) pojma pogreške i dobivamo:
4. Definiramo novi polinom koji ovisi o E:
Uzimamo zajednički faktor:
Iz modela pokretnog prosjeka ostaje nam jednadžba točke 4:
ARMA (p, q) model
Matematički
Općeniti autoregresivni model vremenskih serija s pomičnim prosjekom odstr autoregresivni pojmovi išto Pojmovi pokretnog prosjeka izraženi su kao:
Nemojte paničariti! Možemo li nešto pojednostaviti?
Uvijek možete pojednostaviti stvari. Sjećamo se jednadžbi koje smo već istaknuli:
Autoregresivni model
Model pokretnog prosjeka
Dakle, možemo vidjeti da je ARMA model jednostavno kombinacija autoregresivnog modela i pomičnog prosjeka (označeno žutom bojom).