Čebiševljeva nejednakost je teorem koji se koristi u statistici koji pruža konzervativnu procjenu (interval pouzdanosti) vjerojatnosti da će slučajna varijabla s konačnom varijancom biti na određenoj udaljenosti od svog matematičkog očekivanja ili srednje vrijednosti.
Njegov formalni izraz je sljedeći:
X = Procijenjena vrijednost
µ = Matematičko očekivanje procijenjene vrijednosti
Ϭ = Standardno odstupanje očekivane vrijednosti
k = Broj standardnih odstupanja
Polazeći od ovog općeg izraza i razvijajući dio koji ostaje unutar apsolutne vrijednosti, imali bismo sljedeće:
Ako obratimo pažnju na prethodni izraz, može se vidjeti da dio lijevo nije veći od a interval pouzdanosti. To nam nudi i donju i gornju granicu za procijenjenu vrijednost. Stoga nam nejednakost Čebiševa govori o minimalnoj vjerojatnosti da je parametar populacije unutar određenog broja standardnih odstupanja iznad ili ispod svoje srednje vrijednosti. Ili drugačije rečeno, daje nam vjerojatnost da je parametar populacije unutar tog intervala pouzdanosti.
Nejednakost Čebiševa daje približne granice za procijenjenu vrijednost. Unatoč određenom stupnju nepreciznosti, to je vrlo koristan teorem jer se može primijeniti na širok raspon slučajnih varijabli bez obzira na njihovu raspodjelu. Jedino ograničenje da bismo mogli koristiti ovu nejednakost jest da k mora biti veći od 1 (k> 1).
Matematička nejednakostPrimjer primjene Čebiševljeve nejednakosti
Pretpostavimo da smo upravitelji investicijskog fonda. Portfelj kojim upravljamo ima prosječni prinos od 8,14% i standardno odstupanje od 5,12%. Da bismo, na primjer, znali koliki postotak povrata predstavlja najmanje 3 standardna odstupanja od prosječne profitabilnosti, jednostavno bismo primijenili prethodnu formulu izraza 2.
k = 1,96
Zamjena vrijednosti k: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%
To znači da je 73,9% rezultata u intervalu pouzdanosti koji se nalazi na 1,96 standardnih odstupanja od srednje vrijednosti.
Napravimo prethodni primjer za vrijednosti koje nisu k.
k = 2,46
k = 3
Zamjena vrijednosti k: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%
Zamjena vrijednosti k: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%
Postoji 83,5% podataka koji su na udaljenosti od 2,46 standardnih odstupanja od srednje vrijednosti i 88,9% koji su unutar 3 standardna odstupanja od srednje vrijednosti.
Koristeći Čebiševu nejednakost, lako je zaključiti da što je veća vrijednost K (što je veće odstupanje procijenjene vrijednosti od srednje vrijednosti), to je veća vjerojatnost da je slučajna varijabla unutar ograničenog intervala.
KurtozaTeorem o središnjoj graniciNejednakost