Choleskyova razgradnja posebna je vrsta razgradnje LU matrice, od engleskog Lower-Upper, koja se sastoji od uračunavanja matrice u produkt dvije ili više matrica.
Drugim riječima, Choleskyjeva se dekompozicija sastoji od izjednačavanja matrice koja sadrži isti broj redaka i stupaca (kvadratna matrica) matrici s nulama iznad glavne dijagonale pomnoženom s njezinom matricom transponiranom s nulama ispod glavne dijagonale.
LU razgradnja, za razliku od Choleskog, može se primijeniti na razne vrste kvadratnih matrica.
Karakteristike razgradnje Choleskyja
Razgradnja Choleskog sastoji se od:
- Gornja trokutasta kvadratna matrica: Kvadratna matrica koja ima samo nule ispod glavne dijagonale.
- Donja trokutasta kvadratna matrica: Matrica koja ima samo nule iznad glavne dijagonale.
Matematički, ako postoji pozitivno određena simetrična matrica, I, tada postoji donja trokutasta simetrična matrica, K, iste dimenzije kao I, što rezultira:
Gornja matrica pojavljuje se kao Choleskyjeva matrica E. Ta matrica djeluje kao kvadratni korijen matrice E. Znamo da je domena kvadratnog korijena:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Što je definirano u svim negativnim realnim brojevima. Na isti način kao i kvadratni korijen, Choleskyova matrica postojat će samo ako je matrica polupozitivno određena. Matrica je polupozitivno definirana kada glavne maloljetnice imaju pozitivnu ili nultu odrednicu.
Razgradnja Choleskog iz I je dijagonalna matrica takva da:
Vidimo da su matrice kvadratne i sadrže spomenute karakteristike; trokut nula iznad glavne dijagonale u prvoj matrici i trokut nula ispod glavne dijagonale u transformiranoj matrici.
Primjene razgradnje Choleskyja
U financijama se koristi za pretvaranje ostvarenja neovisnih normalnih varijabli u normalne varijable korelirane prema matrici korelacije I.
Ako je N vektor neovisnih normala (0,1), proizlazi da je Ñ vektor normala (0,1) koreliran prema I.
Primjer Choleskyeve razgradnje
Ovo je najjednostavniji primjer Choleskyeve dekompozicije jer matrice moraju biti kvadratne, u ovom slučaju matrica je (2 × 2). Dva reda po dva stupca. Uz to, ispunjava karakteristike nule iznad i ispod glavne dijagonale. Ova je matrica polupozitivno određena jer glavne maloljetnice imaju pozitivnu odrednicu. Mi definiramo:
Rješavanje za: c2 = 4; b · c = -2; do2+ b2 = 5; imamo četiri moguće Choleskyjeve matrice:
Na kraju izračunavamo kako bismo pronašli (a, b, c). Jednom kad ih pronađemo, imat ćemo Choleskyjeve matrice. Izračun je sljedeći:
