Teorija skupova je grana matematike (i logike) koja je posvećena proučavanju karakteristika skupova i operacija koje se mogu izvoditi između njih.
Odnosno, teorija skupova je područje proučavanja usmjereno na skupove. Stoga je zadužen za analizu i svojstava koja posjeduju i odnosa koji se između njih mogu uspostaviti. Odnosno, njegova unija, sjecište, dopuna ili drugo.
Moramo se sjetiti da je skup grupiranje elemenata, bilo da su to brojevi, slova, riječi, funkcije, simboli, geometrijske figure ili drugi.
Za određivanje skupa obično se definira obilježje zajedničko njegovim elementima. Na primjer, skup A s cijelim brojevima, pozitivnim i parnim brojevima manjim od 20.
A = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18)
Povijest teorije skupova
Povijest teorije skupova može se pratiti do djela Georga Cantora, njemačkog matematičara ruskog podrijetla, koji se smatra ocem ove discipline.
Među temama koje je Cantor proučavao, ističe se, na primjer, beskonačno mnoštvo i numerički skup.
Cantor-ov prvi rad na teoriji skupova datira iz 1874. Uz to, vrijedi spomenuti da je često razmjenjivao ideje s matematičarom Richardom Dedekindom, koji je pridonio proučavanju prirodnih brojeva.
Numerički skupovi
Numerički skupovi su različite skupine u kojima se brojevi klasificiraju prema njihovim različitim karakteristikama. To je apstraktna konstrukcija koja ima važnu primjenu u matematici.
Numerički skupovi su složeni, zamišljeni, stvarni, iracionalni, racionalni, cijeli i prirodni, a mogu se ilustrirati na sljedećem Vennovom dijagramu:
Složeni brojeviImaginarni brojeviStvarni brojeviIracionalni brojeviRacionalni brojeviCijeli brojeviPrirodni brojevi
Postavi algebru
Algebra skupova obuhvaća odnose koji se mogu uspostaviti između njih.
Tako se ističu sljedeće operacije:
- Unija skupova: Unija dva ili više skupova sadrži svaki element koji je sadržan u barem jednom od njih.
- Sjecište skupova: Sjecište dvaju ili više skupova uključuje sve elemente koje ti skupovi dijele ili im je zajedničko.
- Postavi razliku: Razlika jednog skupa u odnosu na drugi jednaka je elementima prvog skupa umanjenog za elemente drugog.
- Dopunski skupovi: Dopuna skupa uključuje sve elemente koji nisu sadržani u tom skupu (ali koji pripadaju drugom referentnom skupu).
- Simetrična razlika: Simetrična razlika dvaju skupova uključuje sve elemente koji se nalaze u jednom ili drugom, ali ne oba istovremeno.
- Kartezijanski proizvod: To je operacija koja rezultira novim setom. Sadrži kao elemente poredane parove ili korpe (uređene serije) elemenata koji pripadaju dvama ili više skupova. Naručeni su parovi ako su dva skupa i tuple ako su više od dva skupa.