Kurtoza je statistička mjera koja određuje stupanj koncentracije da su vrijednosti varijable prisutne oko središnje zone distribucije frekvencije. Poznata je i kao mjera ciljanja.
Kada mjerimo slučajnu varijablu, općenito, rezultati s najvećom frekvencijom su oni oko srednje vrijednosti raspodjele. Zamislimo visinu učenika u razredu. Ako je prosječna visina razreda 1,72 cm, najnormalnije je da su visine ostalih učenika oko ove vrijednosti (s određenim stupnjem varijabilnosti, ali bez prevelike veličine). Ako se to dogodi, distribucija slučajne varijable smatra se normalno distribuiranom. Ali s obzirom na beskonačnost varijabli koje se mogu mjeriti, to nije uvijek slučaj.
Postoje neke varijable koje predstavljaju veći stupanj koncentracije (manje disperzije) vrijednosti oko njihove srednje vrijednosti, a druge, naprotiv, predstavljaju niži stupanj koncentracije (veću disperziju) njihovih vrijednosti oko njihove središnje vrijednosti. Stoga nas kurtoza informira o tome koliko je distribucija šiljasta (veća koncentracija) ili spljoštena (niža koncentracija).
Mjere središnje tendencijeKumulativna učestalostVrste kurtoza
Ovisno o stupnju kurtoze, imamo tri vrste raspodjele:
1. Leptokurtić: Velika je koncentracija vrijednosti oko njihove srednje vrijednosti (g2>3)
2. Mezokurtični: Postoji normalna koncentracija vrijednosti oko njihove srednje vrijednosti (g2=3).
3. Platicúrtica: Niska je koncentracija vrijednosti oko njihove srednje vrijednosti (g2<3).
Mjerenja kurtoze prema podacima
Ovisno o grupiranju podataka ili ne, koristi se jedna ili druga formula.
Negrupirani podaci:
Podaci grupirani u tablice učestalosti:
Podaci grupirani u intervalima:
Primjer izračuna kurtoze za negrupirane podatke
Pretpostavimo da želimo izračunati kurtozu sljedeće distribucije:
8,5,9,10,12,7,2,6,8,9,10,7,7.
Prvo izračunavamo aritmetičku sredinu (µ), koja bi bila 7,69.
Dalje izračunavamo standardno odstupanje, koje bi bilo 2,43.
Nakon što se dobiju ti podaci i radi lakšeg izračuna, može se napraviti tablica za izračun dijela brojnika (četvrti trenutak raspodjele). Za prvi izračun to bi bilo: (Xi-µ) 4 = (8-7.69) 4 = 0.009.
| Podaci | (Xi-µ) 4 |
|---|---|
| 8 | 0,0090 |
| 5 | 52,5411 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 12 | 344,3330 |
| 7 | 0,2297 |
| 2 | 1049,9134 |
| 6 | 8,2020 |
| 8 | 0,0090 |
| 9 | 2,9243 |
| 10 | 28,3604 |
| 7 | 0,2297 |
| 7 | 0,2297 |
| N = 13 | ∑ = 1.518,27 |
Jednom kada napravimo ovu tablicu, jednostavno bismo morali primijeniti formulu koja je prethodno bila izložena da ima kurtozu.
g2 = 1.518,27/13*(2,43)^4 = 3,34
U ovom slučaju od g2 ako je veća od 3, raspodjela bi bila leptokurtička, što bi predstavljalo veće usmjerenje od normalne raspodjele.
Višak kurtoze
U nekim se priručnicima kurtoza prikazuje kao višak kurtoze. U ovom se slučaju izravno uspoređuje s normalnom raspodjelom. Budući da normalna raspodjela ima kurtozu 3, da bismo dobili višak, morali bismo samo oduzeti 3 od našeg rezultata.
Višak kurtoze = g2-3 = 3,34-3 = 0,34.
Tumačenje rezultata u ovom slučaju bilo bi sljedeće:
g2-3> 0 -> leptokurtička raspodjela.
g2-3 = 0 -> mezokortikalna (ili normalna) raspodjela.
g2-3 platikurtička raspodjela.
Opisne statistike