Eksponencijalna funkcija osnova je kontinuiranog sastavljanja, što je rezultat beskonačnog povećavanja (kada p teži beskonačnosti) učestalosti izračunavanja interesa za složenu smjesu.
Drugim riječima, eksponencijalna funkcija složena je smjesa u kojoj su vremenska razdoblja između izračuna kamata beskonačno mala (vrlo mala).
Formula za eksponencijalnu funkciju je:
Neprekidno sastavljanje može se izraziti kao
Razumne sličnosti između kontinuiranog pisanja velikih slova i eksponencijalne funkcije, zar ne?
Definiramo varijable kontinuirane upotrebe velikih slova:
- Ct + 1: kapital u trenutku t + 1 (kasnije).
- Ct: kapital u trenutku t (trenutni).
- jat: kamatna stopa u trenutku t.
- p: učestalost složenja ili periodičnost.
- t: vrijeme.
Prijave
U financijama često nalazimo eksponencijalnu funkciju u formuli za kontinuiranu kapitalizaciju budućeg dohotka i u nekim ekonometrijskim regresijama.
U ekonomiji nije toliko popularan jer većina mikroekonomskih i makroekonomskih modela pretpostavlja smanjeni granični povrat na svoje proizvodne čimbenike. Slijedom toga, oni pretpostavljaju da faktori slijede logaritamski povrat i, prema tome, vraća se suprotno eksponencijalnoj funkciji.
Primjer eksponencijalne funkcije
Pretpostavljamo da smo američki investitor koji želi izgraditi skijašku stazu u mjestu Pico Bolívar u Venezueli. Početna investicija iznosi 100 milijuna dolara po godišnjoj kamatnoj stopi od 100%. Ovaj investitor ima dovoljnu pregovaračku moć da odredi periodičnost izračuna kamate na njegovo ulaganje.
Kakvu će alternativu preferirati američki investitor?
Da bismo odgovorili na pitanje, morat ćemo izračunati kapital na vrijeme t + 1 (Ct + 1) koje će dobiti investitor.
Dostupne informacije:
Ct: 100 milijuna dolara
jat: 100%
t: 1 (godišnje)
Ct + 1: ?
| Alternativa | DO | B | C | D | I | F |
| Periodičnost | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Zamjenjujemo podatke koje imamo u dvije formule (funkcija exp. I kontinuirano pisanje velikih slova)
Podatke tretiramo izbjegavajući MM.
Dijelimo (Ct + 1) na 100 u eksponencijalnoj funkciji za uklanjanje učinka kapitala. Na taj način zarez pomičemo za dva mjesta naprijed. Slijedom toga, ovaj je učinak vidljiv u sljedećim stupcima rezultata.
Rezultati:
| Formula | Neprekidna smjesa | Eksponencijalna funkcija |
| Periodičnost (p) ili (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Kada n ili p teže beskonačnosti, u ovom slučaju od 10 000 000, možemo vidjeti da se vrijednosti konvergiraju na određenom broju. Za kontinuirano složenje iznosi 271,8281, a za eksponencijalnu funkciju 2,718281. Dvije se serije konvergiraju dalje i.
Odgovor na vježbu riješen
Dakle, koju će alternativu na kraju izabrati američki investitor, ako je od određenog broja periodičnosti kapital na t + 1 (Ct + 1) staje na određenoj vrijednosti?
- Ako ovaj ulagač kapital tretira kao diskretnu varijablu, tada će odabrati alternativu D. Budući da od alternative C, kapital pri t + 1 (Ct + 1) konvergira na 271 milijuna dolara.
- Ako ovaj investitor tretira kapital kao kontinuiranu varijablu, tada će odabrati alternativu s više periodičnosti. U ovom slučaju, alternativa F. Čak i ako se na kraju približi vrijednosti, investitor uzima u obzir sve decimale.
Ova konvergencija implicira da je kapital pri t + 1 (Ct + 1), izračunat pomoću formule kontinuiranog složenja ili eksponencijalne funkcije, slijedi opadajući granični povrat. Drugim riječima, (Ct + 1) može se izraziti kao logaritamska funkcija.
Shematski:
- Periodičnost = eksponencijalna funkcija.
- Kapital do t + 1 (Ct + 1) = logaritamska funkcija.
Grafički prikaz
Na grafikonu možete vidjeti kako eksponencijalna funkcija, koja je beskonačno kontinuirana, raste puno brže od ograničene kontinuirane upotrebe velikih slova. Kad govorimo o kontinuiranoj kapitalizaciji, mislimo na neku vrstu složene kapitalizacije, ali s većom periodičnošću, jer je u praksi nemoguće beskrajno kapitalizirati kamate. Mislim, ne možemo iskoristiti svaku sekundu.