Poissonova raspodjela je diskretna raspodjela vjerojatnosti koja modelira učestalost određenih događaja tijekom određenog vremenskog intervala na temelju prosječne učestalosti pojavljivanja spomenutih događaja.
Drugim riječima, Poissonova raspodjela je diskretna raspodjela vjerojatnosti koja, samo poznavanjem događaja i njihove prosječne učestalosti pojavljivanja, možemo znati njihovu vjerojatnost.
Izraz
S obzirom na diskretnu slučajnu varijablu X, kažemo da se njezina frekvencija može na zadovoljavajući način aproksimirati na Poissonovu raspodjelu, tako da
Poissonova raspodjela ovisi samo o jednom parametru, mu (označeno žutom bojom). Mu izvještava o očekivanom broju događaja koji će se dogoditi u zadanom vremenskom intervalu.
Funkcija gustoće vjerojatnosti (pdf)
Ova se funkcija razumijeva kao vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi određenu vrijednost x. To je eksponencijal negativne sredine pomnožen sa sredinom povišenom na promatranje i sve podijeljen faktorom promatranja.
Kao što je naznačeno, da bismo znali vjerojatnost svakog promatranja, morat ćemo zamijeniti sva opažanja u funkciji.
Izračun s programom Excel
Iako se prethodna formula može činiti vrlo složenom, Excel nam rješava život samo pisanjem = POISSON i uvođenjem potrebnih podataka. Na taj način možemo izračunati funkciju gustoće vjerojatnosti.
Funkcija ovisi o x, mu i logičkoj vrijednosti. Za izračunavanje funkcije gustoće vjerojatnosti stavit ćemo FALSE u logičku vrijednost, tako da:
= POISSON (x, mu, FALSE).
= POISSON.DIST (x, mu, FALSE).
Obje Excel funkcije su ekvivalentne.
Poissonov primjer u Excelu
Pretpostavljamo da želimo na skijanje prije prosinca. Vjerojatnost da će se skijališta otvoriti prije prosinca iznosi 5%. Želimo znati vjerojatnost da će se najbliža skijališta otvoriti prije prosinca. Od 100 stanica, postoje samo 3 stanice koje su u blizini. Ocjene za ove 3 stanice su 4, 9, odnosno 6.
Ulazi potrebni za izračunavanje funkcije vjerojatnosti Poissonove gustoće su skup podataka i mu:
- Skup podataka = 100 skijališta.
- Mu = 5% * 100 = 5 je očekivani broj skijališta s obzirom na skup podataka.
Ručno
Excel
- Skup podataka ili uzorak. Dio skupa podataka sakriven je kako bi se gledao u cjelini.
- Izračunati Poissonova funkcija gustoće vjerojatnosti:
Stanice označene plavom bojom označavaju vjerojatnost da će se obližnje stanice otvoriti prije prosinca. Dakle, najbliža stanica koja će se najvjerojatnije otvoriti prije prosinca je stanica 98 s ocjenom 4 i vjerojatnošću od 17,54%.
